[논문 리뷰] Cyclotomic double affine Hecke algebras (with an appendix by Hiraku Nakajima and Daisuke Yamakawa)

Alexander BRAVERMAN, Pavel Etingof외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 30.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 50인용 수 33

한 줄 요약

이 논문은 l ≥ 3일 때 비결정형 반사군을 갖는 부분적으로 구면형 순환 유리 Cherednik 대수의 q-변형으로서 순환 DAHA(cyclotomic DAHA)를 도입하며, 생성자와 관계, 미분-반사 연산자, 비퇴화 DAHA 부분대수, 그리고 등변 Borel-Moore 호몰로지의 네 가지 동치 기술을 제공한다. 주요 기여는 다중성의 화살표 및 볼 다양체로 표현되는 다중성의 화살표 다양체를 양자화한 것으로, 이는 프레임된 화살표 게이지 이론의 K-이론적 쿨롱 분지로 식별되며, 휘어진 준위상수의 공간과 그 변형에 대한 평탄성의 증명이다.

ABSTRACT

We show that the partially spherical cyclotomic rational Cherednik algebra (obtained from the full rational Cherednik algebra by averaging out the cyclotomic part of the underlying reflection group) has four other descriptions: (1) as a subalgebra of the degenerate DAHA of type A given by generators; (2) as an algebra given by generators and relations; (3) as an algebra of differential-reflection operators preserving some spaces of functions; (4) as equivariant Borel-Moore homology of a certain variety. Also, we define a new $q$-deformation of this algebra, which we call cyclotomic DAHA. Namely, we give a $q$-deformation of each of the above four descriptions of the partially spherical rational Cherednik algebra, replacing differential operators with difference operators, degenerate DAHA with DAHA, and homology with K-theory, and show that they give the same algebra. In addition, we show that spherical cyclotomic DAHA are quantizations of certain multiplicative quiver and bow varieties, which may be interpreted as K-theoretic Coulomb branches of a framed quiver gauge theory. Finally, we apply cyclotomic DAHA to prove new flatness results for various kinds of spaces of $q$-deformed quasiinvariants. In the appendix by H. Nakajima and D. Yamakawa (added in version 2), the authors explain the relations between multiplicative bow varieties and (various versions of) multiplicative quiver varieties for a cyclic quiver.

연구 동기 및 목표

• 비결정형 반사군을 갖는 부분적으로 구면형 순환 유리 Cherednik 대수의 q-변형을 정의하고, 여러 동치 기술을 통해 이를 구성하는 것.
• 특정 다양체 R(N,l)의 등변 K-이론을 이용한 순환 DAHA의 기하학적 실현을 제시하며, Borel-Moore 호몰로지에 의한 비퇴화 경우의 일반화를 제공하는 것.
• q=1일 때 구면형 순환 DAHA가 길이 l의 순환 화살표에 대응하는 다중성의 화살표 다양체의 좌표환과 동형이 되며, 이로써 이 다양체의 양자화로 실현되는지 확인하는 것.
• 순환 DAHA의 대수적 및 기하학적 구조를 활용하여, 휘어진 준위상수의 공간과 그 변형에 대한 q-변형이 대칭다항식 위에서 평탄함을 증명하는 것.

제안 방법

• GLN에 대한 Cherednik의 DAHA의 부분대수로서 순환 DAHA를 정의하고, 특정 원소들에 의해 생성되며 특정 함수 공간을 보존함을 보이는 것.
• 생성자와 관계를 통한 순환 DAHA의 기술을 제시하여 기저의 구성과 평탄성 결과의 증명을 가능하게 하는 것.
• 비퇴화 순환 DAHA를 다양체 R(N,l)의 등변 Borel-Moore 호몰로지로 실현하고, 그 q-변형을 동일한 다양체의 등변 K-이론으로 실현하는 것.
• 기하학적 실현을 이용하여 q=1일 때 구면형 순환 DAHA가 순환 화살표에 대응하는 다중성의 화살표 다양체의 양자화임을 증명하는 것.
• 아핀 A형의 프레임된 화살표 게이지 이론의 K-이론적 쿨롱 분지를 위한 기하 모델을 구성하고, 이가 다중성의 볼 다양체와 동형임을 보이는 것.
• 순환 DAHA의 대수적 및 기하학적 구조를 활용하여, 휘어진 준위상수의 공간과 그 변형에 대한 q-변형이 대칭다항식 위에서 평탄함을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 반사군이 비결정형인 상황에서 부분적으로 구면형 순환 유리 Cherednik 대수의 q-변형을 구성할 수 있는가?
• RQ2 비퇴화 경우의 Borel-Moore 호몰로지에 대한 등변 K-이론 기반의 순환 DAHA의 기하학적 실현이 존재하는가?
• RQ3 q=1일 때 구면형 순환 DAHA가 다중성의 화살표 다양체의 좌표환과 동형이 되며, 따라서 이 다양체의 양자화로 실현되는가?
• RQ4 준위상수의 공간과 그 변형에 대한 q-변형이 대칭다항식 대수 위에서 평탄한가?
• RQ5 다중성의 화살표 다양체 및 볼 다양체는 아핀 A형의 프레임된 화살표 게이지 이론의 K-이론적 쿨롱 분지와 동형인가?

주요 결과

• 순환 DAHA는 부분적으로 구면형 순환 유리 Cherednik 대수의 q-변형으로서 네 가지 동치 기술을 통해 구성되었으며, 생성자와 관계, DAHA의 부분대수, 함수 공간 보존, 다양체 R(N,l)의 등변 K-이론이다.
• 구면형 순환 DAHA eHH^l_N(Z,1,t)e는 교환 가능하며, 차원 벡터 (N,...,N)를 갖는 길이 l의 순환 화살표에 대응하는 다중성의 화살표 다양체의 좌표환과 동형이 되며, 이로써 이 다양체의 양자화로 실현된다.
• 일반적인 매개변수에서, 구면형 순환 DAHA는 다중성의 화살표 다양체 위에서 차수 N!인 Azumaya 대수이며, HH^l_N(Z,1,t)e는 중심 위에서 Cohen-Macaulay 모듈러이다.
• t가 단위근이 아닐 때, eHH^l_N(Z,1,t)e는 중심과 동형인 정수적으로 닫힌 Cohen-Macaulay 도메인이다.
• 편향된 준위상수의 공간의 q-변형은 대칭다항식 대수 위에서 평탄하며, 기존의 표준 준위상수의 평탄성 결과를 확장한다.
• 다중성의 화살표 다양체 M×_γ(v,w)는 코밸런스 차원 벡수를 갖는 다중성의 볼 다양체와 동형이며, 이 동형은 준해밀토니언 구조와 호환되며, K-이론적 쿨롱 분지가 다중성의 화살표 다양체와 동형임을 지지하는 추측을 뒷받침한다.