[논문 리뷰] Cylindrically Symmetric Solitons with Nonlinear Self-Gravitating Scalar Fields

К. А. Бронников, Г. Н. Шикин|arXiv (Cornell University)|2001. 01. 22.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비선형 스칼라-아인슈타인 중력에서 정적이고 원통대칭인 솔리톤을 조사하며, 임의의 포텐셜 함수 $V(\varphi)$에 대해 적분을 통해 정확한 해를 유도한다. 솔리톤 유사 해가 존재하는 것은 $V(\varphi)$가 부호가 변하는 경우에만 가능하며, 타원 함수로 표현된 솔리톤 해를 제시한다. 이 해는 비자명한 평탄한 공간 근사가 존재하려면 통합 상수의 특정한 $\ae$-의존성이 필요하다.

ABSTRACT

Static, cylindrically symmetric solutions to nonlinear scalar-Einstein equations are considered. Regularity conditions on the symmetry axis and flat or string asymptotic conditions are formulated in order to select soliton-like solutions. Some non-existence theorems are proved, in particular, theorems asserting (i) the absence of black-hole and wormhole-like cylindrically symmetric solutions for any static scalar fields minimally coupled to gravity and (ii) the absence of solutions with a regular axis for scalar fields with the Lagrangian $L=F(I)$, $I=ϕ^αϕ_α$, for any function $F(I)$ possessing a correct weak field limit. Exact solutions for scalar fields with an arbitrary potential function $V(ϕ)$ are obtained by quadratures and are expressed in a parametric form in a few ways, where the parameter may be either the coordinate $x$, or the $ϕ$ field, or one of the metric coefficients. Soliton-like solutions are shown to exist only with $V(ϕ)$ having a variable sign. Some explicit examples of solutions (including a soliton-like one) and their flat-space limit are discussed.}

연구 동기 및 목표

• 원통대칭 시공간에서 정칙하고 국소화된 자기중력 스칼라장 구조(솔리톤 유사 해)가 존재할 조건을 규명하기 위해.
• 자기중력의 맥락에서, 특히 자기중력의 관점에서 비선형 스칼라장에 대해 정칙한 솔리톤 유사 해의 존재성과 구조를 규명하기 위해.
• 적분 기법과 매개변수 표현을 통해 임의의 포텐셜 함수 $V(\varphi)$에 대해 정확한 해를 도출하기 위해.
• 자기중력 해의 평탄한 공간 근사를 명확히 하여, 이것이 자동으로 성립하지 않으며, 통합 상수의 중력상수 $\ae$에 대한 특정한 의존성이 필요하다는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 대칭축에서의 정칙 조건과, 점점 평탄하거나 끈 유사 조건을 설정하여 솔리톤 유사 해를 선택하기 위해.
• 존재하지 않는 정리 증명: 최소 결합된 스칼라장에 대해 블랙홀 또는 웜홀 유사 해는 존재하지 않으며, $I = \varphi^\alpha \varphi_\alpha$인 라그랑지안 $L = F(I)$에 대해서도 정칙한 축 해는 존재하지 않는다.
• 네 가지 매개변수화 방법을 통해 적분을 통한 정확한 해를 도출: $\alpha(x)$, $V(\alpha)$, $\varphi(\alpha)$, 또는 $\alpha(\varphi)$를 지정함으로써.
• 메트릭 추측 $ds^2 = e^{2\gamma}dt^2 - e^{2\alpha}dx^2 - e^{2\xi}dz^2 - e^{2\beta}d\phi^2$를 사용하며, $\alpha, \beta, \gamma, \xi$는 $x$에 대한 함수이며, 평탄한 공간 근사에서 좌표 조건 $\alpha = x$를 적용함.
• 장 방정식을 적분을 통해 풀어, 특히 $\cosh$ 기반 추측에서 $n=1$인 경우 타원 적분을 포함하는 매개변수 해를 도출함.
• 평탄한 공간 근사를 분석하기 위해 $\ae \to 0$일 때 $V(\varphi) \to \lambda \varphi^{2n}$이 되도록 요구하고, 일致성을 확보하기 위한 상수 조건을 도출함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정적이고 국소화된 자기중력 스칼라장 구조가 원통대칭 시공간에서 존재할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 왜 라그랑지안 $L = F(I)$, $I = \varphi^\alpha \varphi_\alpha$인 스칼라장은 대칭축에서 정칙해를 갖지 못하는가?
• RQ3 임의의 포텐셜 함수 $V(\varphi)$를 갖는 스칼라장에 대해 솔리톤 유사 해가 존재할 수 있으며, $V(\varphi)$는 어떤 부호 성질을 가져야 하는가?
• RQ4 자기중력 해의 올바른 평탄한 공간 근사는 무엇이며, 통합 상수가 어떤 조건을 만족해야 이를 도출할 수 있는가?
• RQ5 다양한 메트릭과 스칼라장의 매개변수화를 통해 적분을 통한 정확한 해를 체계적으로 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 솔리톤 유사 해는 부호가 변하는 포텐셜 $V(\varphi)$가 존재할 때만 존재 가능하며, 이는 양의 정부호 또는 일정 부호 포텐셜에 대해 존재하지 않는다는 비존재 정리에 의해 증명된다.
• 최소 결합된 스칼라장에 대해 원통대칭 블랙홀 또는 웜홀 유사 해는 비선형성의 형태에 관계없이 존재하지 않는다.
• 타원 함수로 표현된 솔리톤 유사 해가 명시적으로 구성되었으며, $\alpha \to \infty$일 때 $\varphi \sim e^{-\alpha}$이고 $\alpha \to -\infty$일 때 $\varphi$는 유한한 극한에 도달하며, 모든 정칙 조건을 만족한다.
• 자기중력 해의 평탄한 공간 근사는 비자명한 $\ae$-의존성을 요구한다: $\ae \to 0$일 때 $\varphi_1 \to 0$ 이고 $\varphi_0 \sqrt{3\ae C/2} \to n$이다.
• 포텐셜 $V(\varphi) = \lambda \varphi_0^{2n} \left\{ \sqrt{C} \sin\left[ \frac{1}{n} \sqrt{\frac{3\ae}{2}} (\varphi - \varphi_1) \right] \right\}^{2n}$에 대해, $\ae \to 0$일 때 해는 사인-고든 형태로 줄어든다.
• 매개변수 해로 표현된 $\varphi$는 제1종 타원 적분을 사용하여 표현된다: $\varphi = \frac{2}{\sqrt{3\ae}} \left( \frac{A}{A+1} \right)^{1/4} F\left( \arcsin \sqrt{ \frac{4B}{e^{2\alpha} + 2A + 2B} }, \sqrt{ \frac{A+B}{2B} } \right)$, 여기서 $B = \sqrt{A(A+1)}$이다.