[논문 리뷰] D\\'ecompositions en hauteurs locales

Fabien Pazuki|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 수체 위의 초타원곡선의 야코비안에 대한 팔링스 높이와 그 유리점들의 네론-테이트 높이에 대해, 모르에-베일리 모델과 모듈라 형식에서 유도된 국소 성분을 사용한 분해 공식을 제시한다. 주요 결과는 1986년 실버만의 타원곡선에 대한 공식을 고차원으로 일반화하여, 전역 높이와 유한 및 아르키메데스 자리에서의 국소 불변량 사이의 정확한 연결을 수립한다.

ABSTRACT

Let A be the jacobian variety of a hyperelliptic curve defined over a number field k. We provide a decomposition formula for the Faltings height of A and for the N\\'eron-Tate height of k-rational points on A. We formulate a question of Bogomolov type on the space of principally polarized abelian varieties of dimension g.

연구 동기 및 목표

• 타원곡선의 팔링스 높이에 대한 실버만의 국소 분해 공식을 고차원 아벨 다양체, 특히 초타원곡선의 야코비안으로 확장하는 것.
• 이러한 야코비안 위의 유리점들의 네론-테이트 높이에 대한 명시적 국소 공식을 제공하는 것.
• 전역 높이와 국소 불변량(아르키메데스 자리 및 유한 자리) 사이의 연결을 판별식과 모듈라 형식을 활용하여 수립하는 것.
• 주로 극대화된 편향된 아벨 다양체의 모듈리 공간 $\mathcal{A}_g$ 상에서 보고몰로프 유형 질문을 제안하는 것.
• 모르에-베일리 모델과 표준 메트릭을 사용하여 산술기하학에서의 높이 상한을 향상시키는 것.

제안 방법

• 아벨 다양체 위의 전역 높이의 국소 성분을 정의하고 계산하기 위해 모르에-베일리 모델(MB-모델)을 사용한다.
• 대칭 적당한 앰플리터의 선다발과 관련된 표준 메트릭을 통해 네론-테이트 높이에 적용한다.
• 유한 자리(판별식을 통해)와 아르키메데스 자리(모듈라 $\Delta$-함수를 통해)의 기여를 포함한, 수체의 모든 자리 $v \in M_k$ 에 대한 $h_{\mathrm{F}^+}(A)$ 의 합으로 팔링스 높이를 분해한다.
• 아르키메데스 자리에서의 초타원곡선의 판별식 $\Delta_E$ 와 모듈라 형식 $\Delta(\tau_v)$ 의 관계를 활용한다.
• 사진형 특성 이론과 반스-무프드 모델을 이용하여 국소 높이 기여를 정의한다.
• 양성과 고전적 높이 이론과의 호환성을 확보하기 위해 공식 $h_{\mathrm{F}^+}(A) = \frac{g}{2}\log(2\pi^2) + h_F(A)$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체의 자리마다 분해된 초타원곡선의 야코비안에 대한 팔링스 높이를 구할 수 있는가?
• RQ2 이러한 야코비안 위의 $k$-유리점들의 네론-테이트 높이에 대해 명시적 국소 공식을 제시할 수 있는가?
• RQ3 높이의 국소 성분(아르키메데스 자리 및 유한 자리)은 판별식과 모듈라 형식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 모르에-베일리 모델의 맥락에서 전역 높이와 국소 불변량 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ5 이 높이 분해를 바탕으로 $\mathcal{A}_g$ 상에서 보고몰로프 유형 질문을 제안할 수 있는가?

주요 결과

• 초타원곡선의 야코비안에 대한 팔링스 높이에 대한 분해 공식이 수립되었다: $h_{\mathrm{F}^+}(A) = \frac{1}{12d} \left[ \log N_{k/\mathbb{Q}}(\Delta_E) - \sum_{v \in M_k^\infty} d_v \log \left| \Delta(\tau_v) (2\operatorname{Im} \tau_v)^6 \right| \right] + \text{보정 항}$, 실버만의 1986년 결과를 일반화한다.
• 유리점 $P$ 에 대한 네론-테이트 높이 $\hat{h}(P)$ 는 국소 기여로 분해되며, 아르키메데스 부분은 함수 $I(A_v, \lambda_v)$ 를 포함하고, 유한 부분은 판별식과 연결되어 있다.
• $g=1$ 인 경우 고전적 타원곡선의 경우로 복구되며, 기존 결과와의 일致성을 확인한다.
• 모르에-베일리 모델의 사용은 특히 유한 자리에서 국소 높이 성분을 명시적으로 계산하는 데 기여한다.
• 논문은 $\hat{h}(P) - h(P)$ 의 추정 프레임워크를 제공하여, 만신과 자르힌(1972)의 결과를 향상시킨다.
• 모듈리 공간 $\mathcal{A}_g$ 상에서 보고몰로프 유형 질문을 제안하며, 네론-테이트 높이 하에 작은 점들이 밀도를 이룬다는지를 묻는다.