[논문 리뷰] D-manifolds, d-orbifolds and derived differential geometry: a detailed summary

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 44인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유도 미분기하학에서 새로운 프레임워크로 d-다양체와 d-오비폴드를 도입한다. 이는 가상 기본류를 가진 모듈리 공간을 다룰 수 있도록 고전적 다각체와 오비폴드를 확장한다. 경계와 모서리를 가진 d-다양체에 대해 2-category의 구조를 수립하고, 복소대수기하학적 및 심플렉틱 기하학적 구조(예: 완벽한 오차이론, 폴리폴드)로부터의 절단 함자들을 제공하며, 그로모프–와이튼 및 도널드슨–토머스 불변량과 같은 추상 기하학적 불변량들이 이 유도 설정에서 재정의됨을 보여, 새로운 증명과 단순화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This is a long summary of the author's book "D-manifolds and d-orbifolds: a theory of derived differential geometry", available at http://people.maths.ox.ac.uk/~joyce/dmanifolds.html . A shorter survey paper on the book, focussing on d-manifolds without boundary, is arXiv:1206.4207, and readers just wanting a general overview are advised to start there. We introduce a 2-category dMan of "d-manifolds", new geometric objects which are 'derived' smooth manifolds, in the sense of the 'derived algebraic geometry' of Toen and Lurie. They are a 2-category truncation of Spivak's 'derived manifolds' (see arXiv:0810.5174, arXiv:1212.1153). The category of manifolds Man embeds in dMan as a full (2-)subcategory. We also define 2-categories dMan^b,dMan^c of "d-manifolds with boundary" and "d-manifolds with corners", and orbifold versions of these dOrb,dOrb^b,dOrb^c, "d-orbifolds". Much of differential geometry extends very nicely to d-manifolds and d-orbifolds -- immersions, submersions, submanifolds, transverse fibre products, orientations, orbifold strata, bordism, etc. Compact oriented d-manifolds and d-orbifolds have virtual classes. There are truncation functors to d-manifolds and d-orbifolds from essentially every geometric structure on moduli spaces used in enumerative invariant problems in differential geometry or complex algebraic geometry, including Fredholm sections of Banach vector bundles over Banach manifolds, the "Kuranishi spaces" of Fukaya, Oh, Ohta and Ono and the "polyfolds" of Hofer, Wysocki and Zehnder in symplectic geometry, and C-schemes with perfect obstruction theories in algebraic geometry. Thus, results in the literature imply that many important classes of moduli spaces are d-manifolds or d-orbifolds, including moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. D-manifolds and d-orbifolds will have applications in symplectic geometry, and elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 유도 미분다양체(d-다양체)와 오비폴드(d-오비폴드)를 위한 2-범주적 프레임워크를 개발하며, 경계와 모서리를 포함한 경우를 포함한다.
• 이ossal 다각체와 오비폴드에 대한 표준적인 미분기하학 개념들—예를 들어 임bedding, 서머전, 교차 섬유곱, 방향성—을 d-다양체의 유도 설정으로 확장한다.
• 유도 다각체에서의 가상 기본류를 통해 기존의 기하학적 추상 불변량(예: 그로모프–와이튼, 도널드슨–토머스, 세이버그–와이튼)을 통합하고 단순화한다.
• 복소대수기하학적 및 심플렉틱 기하학적 구조(예: 델리뉴–무미포 스택, 폴리폴드, 쿠란시 공간)에서 d-다양체와 d-오비폴드로의 절단 함자들을 수립한다.
• 경계와 모서리를 포함한 d-다양체의 보르드이즘 이론과 함수적 성질을 지원하는, 유도 미분기하학의 체계적인 기초를 제공한다.

제안 방법

• C^\infty-환과 유도 스킴을 사용하여, 미분다양체의 유도 강화로 구성된 d-다양체의 2-범주 ${\mathop{\bf dMan}}$를 수립한다.
• d-다양체는 다각체 위의 벡터(bundle)의 미분가능한 섹션의 영점으로서 국소 모델화된 것으로 정의하며, 2-사상은 등장변형( isotopy)으로 주어진다.
• 경계와 모서리를 가진 d-다양체는 2-범주 ${\mathop{\bf dMan^c}}$를 통해 정의되며, 모서리 함자와 교차 사상에 대한 함수적 성질을 갖는다.
• d-다양체 위에서의 가상 벡터(bundle)와 방향성 이론을 개발하여, 가상 기본류의 구성이 가능하도록 한다.
• 델리뉴–무미포 C^\infty-스택, 유도 C-스킴, 스피바크의 유도 다각체에서 d-다양체로의 절단 함자들을 수립한다.
• 모듈리 공간에 대해 이 프레임워크를 적용하여, 그들의 가상 사이클이 자연스럽게 d-다양체의 절단으로서 나타남을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유도 미분기하학은 경계와 모서리를 포함한 미분다양체와 오비폴드를 일반화하는 2-범주적 프레임워크로 어떻게 형식화될 수 있는가?
• RQ2 전형적인 미분기하학의 구성—예를 들어 교차 섬유곱, 임베딩, 서머전—은 d-다양체와 d-오비폴드로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 기존의 심플렉틱 기하학 및 대수기하학에서의 추상 불변량(예: 그로모프–와이튼, 도널드슨–토머스)은 d-다양체 위의 가상 클래스를 통해 통합적으로 기술될 수 있는가?
• RQ4 d-다양체와 완벽한 오차이론, 폴리폴드, 쿠란시 공간과 같은 다른 유도 기하학적 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 경계와 모서리를 포함한 d-다양체에서의 경계와 모서리의 함수적 성질은 보르드이즘 이론과 상대 불변량의 증명을 단순화하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• d-다양체의 2-범주 ${\mathop{\bf dMan}}$는 고전적 미분다양체의 범주를 완전히 포함하며, 모든 표준적인 미분기하학적 구조를 유지한다.
• 경계와 모서리를 가진 d-다양체는 함수적 모서리 함자와 잘 정의된 가상 기본류를 갖는다.
• 델리뉴–무미포 C^\infty-스택, 준미분가능한 유도 C-스킴, 스피바크의 유도 다각체에서 d-다양체로의 절단 함자가 존재한다.
• 심플렉틱 기하학 및 대수기하학의 모든 표준적인 추상 불변량—예를 들어 그로모프–와이튼, 도널드슨–토머스, 라그랑주 플로어 불변량—은 d-오비폴드 위의 가상 클래스로 나타난다.
• 이 프레임워크는 경계와 모서리를 포함한 모듈리 공간에 대해 새로운 통합적 접근을 가능하게 하며, 기존의 증명을 단순화하고 유도 미분기하학에서 새로운 결과를 도출할 수 있다.
• 방향성이 있고 컴act한 d-다양체와 d-오비폴드는 자연스러운 가상 기본류를 갖으며, 이는 유도 보르드이즘 이론을 지원한다.