[논문 리뷰] $D$-modules arithmétiques, distributions et localisation

Christine Huyghe, Tobias Schmidt|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전한 이산 평가환환의 비대칭 특성 $(0,p)$ 위에서 미분 가능하고 애매한 군 스킴 $G$에 대해 부분 분할 거듭제곱을 사용하여 산술 분포 대수 $D^{(m)}(G)$를 구성하고, 이를 $G$-불변 산술 미분 연산자와 식별하며, 재구성된 군에 대해 $p$-진 국소화 정리를 수립한다. 이는 $p$-진 형식적 플래그 다양체 위의 산술 미분 연산자층의 전역 섹션들이 중심 문자를 모odulo한 완비 분포 대수와 동형임을 증명하여, 베일린슨-버너스타인 국소화 정리를 산술적 환경으로 확장한다.

ABSTRACT

Let $p$ be a prime number, $V$ a discrete valuation ring of unequal caracteristics $(0,p)$, $G$ a smooth affine algebraic group over $Spec \,V$. Using partial divided powers techniques of Berthelot, we construct arithmetic distribution algebras, with level $m$, generalizing the classical construction of the distribution algebra. We also construct the weak completion of the classical distribution algebra. We then show that these distribution algebras can be identified with invariant arithmetic differential operators over $G$. We finally apply these constructions in the case of a reductive group and obtain a localization theorem for the sheaf of arithmetic differential operators on the formal flag variety obtained by $p$-adic completion, generalizing a previous result of Ardakov-Wadsley (for the level 0 and with some condition on $p$).

연구 동기 및 목표

• 부분 분할 거듭제곱을 사용하여 고전적 분포 대수를 산술적 환경으로 일반화하기.
• 약완비 산술 분포 대수를 구성하고, 이들을 군 $G$ 위의 불변 산술 미분 연산자와 식별하기.
• 재구성된 군에 대해 베일린슨-버너스타인 국소화 정리의 $p$-진 형태를 수립하기.
• 형식적 플래그 다양체 위의 산술 $\mathcal{D}$-모듈의 코homology와 리 대수 코homology 및 강한 코homology 사이의 관계를 규명하기.
• 특성 $p$에서 플래그 다양체의 열린 부분집합의 강한 코hom로를 산술 $\mathcal{D}$-모듈을 통해 연구할 수 있는 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 레벨 $m$의 부분 분할 거듭제곱 이론을 사용하여, $G$의 항등원 주변의 $m$-PD 이웃에 대한 함수의 쌍대를 통해 산술 분포 대수 $D^{(m)}(G)$를 정의하기.
• $\pi$-진 완비화를 통해 분포 대수의 약완비화 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G})_\mathbf{Q}$를 구성하기.
• 관련된 등급 사상에 의해 $D^{(m)}(G)$를 $G$-불변 산술 미분 연산자의 대수로 식별하기.
• 형식적 플래그 다양체 $X = \widehat{G/B}$ 위에서 산술 미분 연산자의 층 $\mathcal{D}^{(m)}_X$를 정의하고, 이가 $\mathcal{A}^{(m)}_X$-모듈로서 강한 모듈로서 성립함을 보이기.
• 스펙트럴 시퀀스 추론과 코homological 차수에 대한 귀납법을 사용하여, 임의의 강한 $\mathcal{D}^{(m)}_X$-모듈 $\mathcal{M}$에 대해 전역 코homology 군 $H^k(X, \mathcal{M})$ 이 $D^{(m)}(G)^{\mathrm{op}}$ 위에서 유한 생성임을 증명하기.
• 완비화 보조정리에 의해 자연스러운 사상 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} / Z_K^+ \widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} \to \Gamma(X, \widehat{\mathcal{D}}^{(m)}_{X,\mathbf{Q}})$ 가 동형임을 보여 국소화 정리를 증명하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $m$-PD 구조를 사용하여 고전적 분포 대수를 산술적 환경으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 형식적 플래그 다양체 위의 산술 미분 연산자층은 완비 분포 대수의 전역 섹션을 통해 기술될 수 있는가?
• RQ3 형식적 플래그 다양체 위의 산술 $\mathcal{D}$-모듈의 코homology와 특성 0에서의 리 대수 코homology 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $\mathcal{D}$-모듈의 국소화 정리가 재구성된 군에 대해 $p$-진 산술 환경으로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 특성 $p$에서 플래그 다양체의 열린 부분집합의 강한 코homology는 산술 $\mathcal{D}$-모듈의 코homology와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 산술 분포 대수 $D^{(m)}(G)$는 항등원 주변의 $m$-PD 이웃의 쌍대를 통해 구성된 $G$-불변 산술 미분 연산자 대수와 동형이며, 이는 수준 $m$에서의 산술 미분 연산자 대수이다.
• 형식적 플래그 다양체 $X = \widehat{G/B}$ 위의 산술 미분 연산자층 $\mathcal{D}^{(m)}_X$ 는 $m$-PD 미분 연산자층 $\mathcal{A}^{(m)}_X$-모듈로서 강한 모듈이다.
• 강한 $\mathcal{D}^{(m)}_X$-모듈 $\mathcal{M}$에 대해 전역 코homology 군 $H^k(X, \mathcal{M})$ 이 $D^{(m)}(G)^{\mathrm{op}}$ 위에서 유한 생성되며, 이는 귀납법과 스펙트럴 시퀀스 추론을 통해 증명된다.
• 완비 분포 대수 $\widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}} / Z_K^+ \widehat{D}^{(m)}(\mathcal{G}_K)^{\mathrm{op}}$ 는 전역 섹션 $\Gamma(X, \widehat{\mathcal{D}}^{(m)}_{X,\mathbf{Q}})$ 와 동형이며, 이는 산술 국소화 정리를 수립한다.
• 동일한 동형이 왜곡된 경우에도 성립하며, 이 경우 $Z_K^+$ 대신 $Ker\theta_K$ 가 사용되므로, 국소화 정리는 임의의 중심 문자로 확장됨을 보여준다.
• 이 결과는 특성 $p$에서 플래그 다양체의 열린 부분집합의 강한 코homology가 형식적 플래그 다양체 위의 산술 $\mathcal{D}$-모듈의 코homology를 통해 계산될 수 있음을 시사한다.