[논문 리뷰] D-modules on Spaces of Rational Maps and on other Generic Data

Jonathan Barlev|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 16.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대수적 곡선 위에서 일반적으로 정의된 기하적 자료, 특히 유리 함수와 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$ 유형의 몫에 대해 Drinfeld가 처음으로 제안한 세 가지 서로 다른 포인트-함수 구성법 간의 동치성을 확립한다. 이 구성법들이 fppf 층으로서 동치임을 증명하며, 이는 해당 D-모듈 및 D-모듈 불변량의 동치 분야를 보장한다. 또한 $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$의 기하적 실현을 구축하고, $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$로의 완전 충실한 $!$-풀백을 제공함으로써 기하학적 랭랜즈 대응을 실현한다.

ABSTRACT

Let X be an algebraic curve. We study the problem of parametrizing geometric data over X, which is only generically defined. E.g., parametrizing generically defined (aka rational) maps from X to a fixed target scheme Y. There are three methods for constructing functors of points for such moduli problems (all originally due to Drinfeld), and we show that the resulting functors are equivalent in the fppf Grothendieck topology. As an application, we obtain three presentations for the category of D-modules "on" B (K) \G (A) /G (O), and we combine results about this category coming from the different presentations.

연구 동기 및 목표

• 대수적 곡선 위에서 일반적으로 정의된 기하적 자료, 특히 유리 함수와 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$에 대해 세 가지 사전에 다른 포인트-함수 정의 방법을 통합하는 것.
• 이 세 구성법이 fppf 그로텐디크 위상에서 동치인 함자를 유도함을 증명하여, 관련된 코herent sheaf 및 D-모듈의 분야가 동치임을 보장하는 것.
• 이 동치성을 기하학적 랭랜즈 프로그램에 적용하기 위해 $G$-bundle에 대해 일반적인 $B$-축소를 갖는 $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$라는 기하적 공간을 구성하는 것.
• 완전 충실한 $!$-풀백 함자 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}) \to \mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$를 수립하여, $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$에서 $G(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$로의 랭랜즈 호환성 사상의 기하학적 실현을 이루는 것.

제안 방법

• 유한하고 비어있지 않은 부분집합을 갖는 사상 $S \to X$를 매개변수화하기 위해 Ran 공간 접근법을 사용하여, 함자 $\mathcal{Ran}_X: \mathfrak{Aff}^{\mathrm{op}} \to \mathbf{Gpd}_\infty$를 구성한다.
• 그로텐디크의 unstraightening 구성법을 적용하여, $\{n\} \twoheadrightarrow F$의 사영 극한이 수축 가능함을 보여 $\mathcal{Ran}_X(S)$가 집합임을 증명한다.
• 준위상적 대수학을 통해, 세 구성법(유사-사상, Ran 공간, Drinfeld의 원래 스키마)이 일반적인 자료에 대해 fppf 동치인 포인트-함수를 유도함을 확립한다.
• 호모토피 이론을 활용하여, 포함함수 $j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$에 沿해의 오른쪽 카르탕 확장이 수축 가능한 섬유를 가지므로 층임을 보여, 이는 층의 성질을 보장한다.
• D-모듈의 유도 범주에서 $!$-풀백과 $!$-전달의 수반 관계를 적용하여 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$와 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$를 연결한다.
• fppf 층의 동치성을 활용하여 D-모듈 범주의 동치 및 그 유도 불변량의 동치를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세 가지 서로 다른 포인트-함수 구성법—유사-사상, Ran 공간, Drinfeld의 원래 스키마를 통해 정의된, 곡선 위에서 일반적으로 정의된 사상에 대해 fppf 위상에서 동치인가?
• RQ2 공간 $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$는 일반적인 $B$-축소를 갖는 $G$-bundle의 모듈러스 공간으로 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$에서 $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})})$로의 $!$-풀백 함자가 완전 충실한 임bedding을 유도하는가?
• RQ4 이 세 구성법을 통해 얻어진 D-모듈 범주의 유도 불변량(예: 호모로지 군)은 어떻게 상호 연관되어 있는가?
• RQ5 포함함수 $j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$에 의한 층 $\mathcal{F}_0$의 오른쪽 카르탕 확장이 층인가? 이는 전역 섹션에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 곡선 위에서 일반적으로 정의된 자료에 대해 세 가지 포인트-함수 구성법은 fppf 그로텐디크 위상에서 동치이며, 이는 관련된 코herent sheaf 및 D-모듈의 분야가 동치임을 보장한다.
• $G$-bundle에 일반적인 $B$-축소를 갖는 공간 $\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}$는 기하적 객체로서 존재하며, 이에 대한 D-모듈 범주는 $!$-풀백을 통해 전체 $\mathrm{Bun}_G$의 D-모듈 범주와 동치임을 보장한다.
• $\mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G^{B(\mathrm{gen})}) \to \mathfrak{Dmod}(\mathrm{Bun}_G)$의 $!$-풀백 함자는 완전 충실하며, $B(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$에서 $G(K)\backslash G(\mathbb{A})/G(\mathbb{O})$로의 랭랜즈 호환성 사상의 기하학적 실현을 이루고 있다.
• 포함함수 $j: \mathcal{S}_c^0 \to C^0$에 의한 층 $\mathcal{F}_0$의 오른쪽 카르탕 확장은 층이며, 이는 섬유 범주에 최종 객체가 존재함으로써 그 극한의 호모토피 섬유가 수축 가능하기 때문이다.
• $\mathcal{Ran}_X(S)$는 $\mathrm{Hom}(S,X)$의 유한하고 비어있지 않은 부분집합의 집합과 동치이며, 이는 $\{n\} \twoheadrightarrow F$의 사영 극한이 수축 가능함을 보여 증명된다.
• 사진 $\mathrm{Surj}(\{n\}, F) \to \{F \subseteq \mathrm{Hom}(S,X)\}$의 호모토피 섬유는 수축 가능하며, 이는 섬유 범주에 최종 객체가 존재하기 때문이다. 이는 극한이 집합임을 보장한다.