[논문 리뷰] D-SOLUTIONS TO THE SYSTEM OF VECTORIAL CALCULUS OF VARIATIONS IN L ∞ VIA THE BAIRE CATEGORY METHOD FOR THE SINGULAR VALUES

Gisella Croce, Nikos Katzourakis외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 14.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 Dacorogna-Marcellini Baire category 방법을 사용하여 L∞에서의 완전히 비선형적인 벡터류 변분법의 시스템에 대해 D-해를 도입하며, 볼록성 조건 없이 W^{1,∞}-서브머전이 비선형 함수성의 임계점으로 존재함을 입증한다. 또한 일반 차원 n ≠ N 에서의 특이값 문제에 대한 강한 해에 대한 새로운 존재성 결과를 제시한다.

ABSTRACT

For $\mathrm{H}\in C^2(\mathbb{R}^{N imes n})$ and $u :\Omega \subset \mathbb{R}^n o \mathbb{R}^N$, consider the system \[ \label{1} \mathrm{A}_\infty u\, :=\,\Big(\mathrm{H}_P \otimes \mathrm{H}_P + \mathrm{H}[\mathrm{H}_P]^\bot \mathrm{H}_{PP}\Big)(D u):D^2u\, =\,0. ag{1} \] The PDE system \eqref{1} is associated to the supremal functional \[ \label{2} \mathrm{E}_\infty(u,\Omega')\, =\, \big\| \mathrm{H}(D u)\big\|_{L^\infty(\Omega')}, u\in W^{1,\infty}_{ ext{loc}}(\Omega,\mathbb{R}^N), \Omega'\Subset \Omega, ag{2} \] and first arose in recent work of the 2nd author as the analogue of the Euler-Lagrange equation. Herein we employ the Dacorogna-Marcellini Baire Category method to construct $\mathcal{D}$-solutions to the Dirichlet problem for \eqref{1}, an apt notion of generalised solutions recently proposed for fully nonlinear systems. Our $\mathcal{D}$-solutions to \eqref{1} are $W^{1,\infty}$-submersions corresponding to ``critical points of \eqref{2} and are obtained without any convexity hypotheses. Along the way we establish a result of independent interest by proving existence of strong solutions to the singular value problem for general dimensions $n eq N$.

연구 동기 및 목표

• 완전히 비선형적인 L∞에서의 함수성 기반 시스템에 대해 일반화된 해 개념인 D-해를 개발한다.
• 해밀토니안 H의 볼록성 조건 없이 A∞u = 0 시스템의 딜리클레 문제를 다룬다.
• 일반 차원 n ≠ N 에서의 특이값 문제에 대한 강한 해의 존재성을 확립한다.
• Dacorogna-Marcellini Baire category 방법을 L∞ 설정에서의 벡터류 시스템으로 확장한다.
• 볼록성의 부재 속에서 함수성 기반 기능 E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}의 임계점에 대한 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• A∞u = 0 시스템에 대한 D-해를 구성하기 위해 Dacorogna-Marcellini Baire category 방법을 적용한다.
• PDE 시스템 A∞u := (HP ⊗ HP + H[HP]^⊥ HPP)(Du) : D²u = 0 를 W^{1,∞}_{loc}(Ω,ℝ^N) 내에서 함수성 기능 E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}의 오일러-라그랑주 방정식으로 사용한다.
• Baire category 방법을 활용하여 W^{1,∞}-서브머전의 공간에서 해를 구성한다.
• 볼凸성의 부재 속에서 완전히 비선형 시스템의 일반화된 해(D-해)의 프레임워크 내에서 작업한다.
• 일반 차원 n ≠ N 에서의 특이값 문제에 대한 강한 해의 존재성을 입증하며, 기존의 표준 볼록성 가정과는 독립적이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H에 대한 볼록성 가정 없이 벡터류 A∞-시스템에 대해 D-해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 Baire category 방법은 L∞에서의 벡터류 변분법에 어떻게 적응될 수 있는가?
• RQ3 n ≠ N 인 경우 특이값 문제에 대한 강한 해의 존재 상태는 어떠한가?
• RQ4 W^{1,∞}-서브머전은 함수성 기능 E∞(u,Ω')의 임계점과 일치하는가?
• RQ5 Du의 특이값은 A∞-시스템의 구조에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• H에 대한 볼록성 가정 없이도 W^{1,∞}에서 A∞u = 0 시스템에 대한 D-해가 구성된다.
• Baire category 방법은 L∞ 변분법의 벡터류 설정으로 성공적으로 확장되어 일반화된 해를 도출한다.
• 일반 차원 n ≠ N 에서의 특이값 문제에 대한 강한 해에 대한 새로운 존재성 결과가 확립된다.
• 해는 볼록성의 부재 속에서 함수성 기능 E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}의 임계점이 되는 W^{1,∞}-서브머전이다.
• A∞u = 0 시스템은 벡터류 경우에서 함수성 기능의 자연스러운 오일러-라그랑주 방정식으로 확인된다.