[논문 리뷰] Damped quantum harmonic oscillator

Аурелиан Исар, A. Sãndulescu|ArXiv.org|2006. 02. 17.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 개방 양자 시스템의 Lindblad 형식을 사용하여 감쇠된 조화 진동자에 대한 엄밀한 양자역학적 접근을 제공하며, 물리적으로 타당한 확산 계수를 갖는 일관된 마스터 방정식을 유도한다. 이는 양자 광학 및 핵물리학에서 널리 사용되는 마스터 방정식이 종종 양자역학적 제약 조건을 위반함을 밝히며, 위상함수 분포(Glauber P, Q, Wigner)가 동일한 분산과 안정 상태에서 가우시안 프로파일을 제공함을 보여준다. 또한 생성함수 방법을 통해 정확한 시간에 따른 밀도 행렬을 유도한다.

ABSTRACT

In the framework of the Lindblad theory for open quantum systems the damping of the harmonic oscillator is studied. A generalization of the fundamental constraints on quantum mechanical diffusion coefficients which appear in the master equation for the damped quantum oscillator is presented; the Schrödinger and Heisenberg representations of the Lindblad equation are given explicitly. On the basis of these representations it is shown that various master equations for the damped quantum oscillator used in the literature are particular cases of the Lindblad equation and that the majority of these equations are not satisfying the constraints on quantum mechanical diffusion coefficients. Analytical expressions for the first two moments of coordinate and momentum are also obtained by using the characteristic function of the Lindblad master equation. The master equation is transformed into Fokker-Planck equations for quasiprobability distributions. A comparative study is made for the Glauber $P$ representation, the antinormal ordering $Q$ representation and the Wigner $W$ representation. It is proven that the variances for the damped harmonic oscillator found with these representations are the same. By solving the Fokker-Planck equations in the steady state, it is shown that the quasiprobability distributions are two-dimensional Gaussians with widths determined by the diffusion coefficients. The density matrix is represented via a generating function, which is obtained by solving a time-dependent linear partial differential equation derived from the master equation. Illustrative examples for specific initial conditions of the density matrix are provided.

연구 동기 및 목표

• 감쇠된 조화 진동자를 위한 일관된 양자역학적 프레임워크를 설립하기 위해 개방 양자 시스템의 Lindblad 이론을 적용한다.
• 양자역학적 제약 조건을 강제로 적용함으로써 양자 광학 및 핵물리학에서 사용되는 기존 마스터 방정식의 오류를 규명하고 수정한다.
• Fokker-Planck 형식에서 다양한 위상함수 표현(Glauber P, Q, Wigner)을 통한 분산 계산이 동일함을 입증한다.
• 선형 편미분 방정식 기반의 생성함수 방법을 통해 마스터 방정식에서 유도된 시간에 의존하는 선형 편미분 방정식을 만족하는 생성함수를 도입하여 밀도 행렬의 정확한 시간 진동을 도출한다.
• 안정 상태 해가 열역학적(bose-einstein) 분포와 일치함을 보이며, 일관된 초기 상태가 시간에 따라 변화하는 가우시안 상태로 진화함을 보여준다.

제안 방법

• 마르코프적 개방 양자 시스템에 대한 Lindblad 공리 체계에 기반하여 감쇠된 양자 진동자를 수립함으로써 완전 양성 및 트레이스 보존을 보장한다.
• Lindblad 마스터 방정식의 슈뢰딩거 및 하이젠베르크 표현을 유도하고, 물리적 일관성을 확보하기 위한 확산 계수에 대한 제약 조건을 규명한다.
• 특성 함수 방법을 사용하여 위치 및 운동량 연산자의 첫 번째 두 모멘트(평균 및 분산)를 해석적으로 계산한다.
• 마스터 방정식을 Glauber P, 반정규순서 Q, Wigner W의 세 가지 위상함수 분포에 대한 Fokker-Planck 방정식으로 변환한다.
• 정상 상태에서 Fokker-Planck 방정식을 풀어, 세 분포 모두 확산 계수에 의해 결정된 폭을 갖는 이변량 가우시안임을 보인다.
• 밀도 행렬을 위한 생성함수를 도입하며, 이는 마스터 방정식에서 유도된 시간에 의존하는 선형 편미분 방정식을 만족함으로써 밀도 행렬 요소의 정확한 시간 진동을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감쇠된 양자 조화 진동자에 대해 널리 사용되는 마스터 방정식 중에서 양자역학의 제약 조건을 만족하는 것은 무엇인가?
• RQ2 감쇠된 진동자에서 Glauber P, Q, Wigner 등의 다양한 위상함수 표현 방식이 분산 계산에 대해 동일한 결과를 도출하는가?
• RQ3 생성함수 체계를 통해 감쇠된 조화 진동자의 밀도 행렬 시간 진동을 정확히 해석할 수 있는가?
• RQ4 마스터 방정식의 안정 상태 해는 무엇이며, 이는 열역학적(bose-einstein) 분포와 일치하는가?
• RQ5 특히 Glauber 일관된 상태인 초기 상태는 감쇠 조건에서 어떻게 진화하는가? 그리고 시간에 따라 변화하는 밀도 행렬을 닫힌 형태로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 문헌에서 널리 사용되는 감쇠된 조화 진동자 마스터 방정식의 대부분은 확산 계수에 대한 기본 양자역학적 제약 조건을 위반하여 물리적으로 타당하지 않다.
• Glauber P, Q, Wigner 위상함수 분포에서 유도된 위치 및 운동량의 분산은 동일하며, 이는 다양한 표현 체계 간의 일관성을 입증한다.
• 정상 상태에서 세 위상함수 분포(P, Q, W) 모두 확산 계수에 의해 결정된 폭을 갖는 이변량 가우시안이며, 이는 최종 상태가 열역학적 성격을 띤다는 것을 확인한다.
• 밀도 행렬의 시간 진동은 마스터 방정식에서 유도된 선형 편미분 방정식을 만족하는 생성함수를 통해 정확히 해석 가능하며, 계수들은 일阶 미분 방정식에 의해 결정된다.
• 초기 상태로 Glauber 일관된 상태를 사용할 경우, 시간에 따라 진화하는 밀도 행렬은 시간에 따라 변화하는 진폭을 갖는 일관된 상태로 유지되며, 수치 기저에서 이는 포아송 분포로 간소화된다.
• 열역학적 열원의 경우, 안정 상태 밀도 행렬은 보스-아인슈타인 분포와 일치함을 확인하여 Lindblad 형식이 통계역학과 일관됨을 입증한다.