[논문 리뷰] Darmon's points and quaternionic Shimura varieties

Jérôme Gärtner|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 히브릿 모듈러 형식을 통한 자코비-랑글란즈 대응을 통해 퀼레르티크 슈미라 다양체를 이용해 다르몬의 추측적 스타크-히긴스 포인트의 구성법을 ATR 조건을 초월하여 비-ATR 이차 확장으로 일반화한다. 이는 해석적 미분형식을 통한 아벨-야코비 사상과 특수 L-함수의 값이 이러한 점들의 높이와 연결된 고로스-코헨-자지어 유형의 공식을 제안한다. 주요 기여는 아델리치이고 비-CM인 설정에서 다르몬의 점들을 위한 정밀화된 고로스-자지어 추측을 수립하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we generalize a conjecture due to Darmon and Logan in an adelic setting. We study the relation between our construction and Kudla's works on cycles on orthogonal Shimura varieties. This relation allows us to conjecture a Gross-Kohnen-Zagier theorem for Darmon's points.

연구 동기 및 목표

• 다르몬의 스타크-히긴스 포인트의 추측적 구성법을 ATR(반-터전션) 조건을 초월하여 K/F가 CM이 아니며 일반적인 이차 확장인 경우로 확장하는 것.
• 히브릿 모듈러 형식을 통해 자코비-랑글란즈 대응을 통해 연결된 퀸터니크 슈미라 다양체 위의 해석적 미분형식을 이용해 일반화된 아벨-야코비 사상을 정의하는 것.
• 다르몬의 점들의 높이와 랭킨-셀버그 L-함수의 특수값을 연결하는 고로스-코헨-자지어 유형의 공식을 제안하는 것.
• 쿠다의 직교 슈미라 다양체 위의 사이클 이론과의 연결을 통해 구성의 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 반정수 스펙트럼의 히브릿 모듈러 형식의 푸리에 계수와 다르몬의 점들의 산술적 성질을 연결하는 추측을 수립하는 것.

제안 방법

• 전체 실수 체 F, 이차 확장 K/F, 그리고 r개의 실수 자리에서 분할되고 d−r개의 자리에서 분열하는 퀄터니크 대수 B/F에 대해 퀄터니크 슈미라 다양체 Sh_H(G,X)를 구성한다.
• 실수 자리에서 (K⊗R)^×_+/(F⊗R)^×의 작용을 통해 Sh_H(G,X)(C) 위에 차원 r−1인 실수 사이클 T_b를 정의하고, 이를 경계가 T_b에 비례하는 복소 r-사이클 Δ_b로 올린다.
• 마츠시마와 시무라의 정리를 이용해 ∂Δ_b ∈ Z·T_b 를 만족하는 사이클 Δ_b의 존재를 보장한다.
• 자코비-랑글란즈 대응을 통해 B 위의 히브릿 모듈러 고유형식 φ에 대해 차수 r의 해석적 미분형식 ω_φ를 부착한다.
• 연결 성분의 특성 χ에 대해 (K⊗R)^×_+/(F⊗R)^×의 성분에 대한 특성 β를 도입하여, 주기들이 Néron 다양체 E의 격자와 동형인 변형된 미분형식 ω_φ^β를 정의한다.
• 복소수 ∫_{Δ_b} ω_φ^β의 이미지로서 Weierstrass 균일화를 통해 E(C) 내의 점 P_b^β를 정의하며, 이는 Δ_b의 선택과 무관하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다르몬의 스타크-히긴스 포인트 구성법은 ATR 조건을 초월하여, 좁은 클래스 수 1 및 ATR 조건 없이 일반화될 수 있는가?
• RQ2 퀄터니크 슈미라 다양체는 전체 실수 체 위의 타원곡선 위의 특수점 구성에 있어 기하학적·산술적 역할을 어떻게 수행하는가?
• RQ3 미분형식 ω_φ^β의 주기들은 타원곡선 E/F의 Néron 격자와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 다르몬의 점들의 높이와 L-함수의 특수값을 연결하는 고로스-코헨-자지어 유형의 공식이 존재하는가?
• RQ5 다르몬의 점들의 산술적 성질은 반정수 스펙트럼의 히브릿 모듈러 형식의 푸리에 계수와 연결될 수 있는가?

주요 결과

• 점 P_b^β ∈ E(C)는 Weierstrass 균일화를 통해 ∫_{Δ_b} ω_φ^β의 이미지로서 정의되며, Δ_b의 선택과 무관하다.
• 논문은 P_b^β가 E(K^{ab})에 속하고, Galois 작용에 의해 β(a_∞)에 따라 변형된다는 추측을 제기한다. 이는 다르몬의 원래 추측을 일반화한다.
• P_b^β의 높이와 중심값 L'(π×χ, 1/2)을 연결하는 추측적 고로스-자지어 공식을 제안한다. 여기서 χ는 히브릿 특성이다.
• 논문은 쿠다의 직교 슈미라 다양체 위의 사이클 이론과의 관계를 확립하여, 구성의 기하학적 해석을 제안한다.
• 랭크 1 타원곡선의 경우, 다르몬의 점들의 크기를 측정하는 정수 [P_t]는 무게 3/2의 히브릿 모듈러 형식의 푸리에 계수와 비례할 것으로 추측된다.
• 논문은 [P_t]가 L(E_{-D_0t}, 1)의 제곱근과 비례할 것으로 추측하며, 고로스-코헨-자지어 정리와 유사하게 구성된다.