[논문 리뷰] Data-Driven Chance Constrained Programs over Wasserstein Balls

Zhi Chen, Daniel Kühn외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 01.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 50

한 줄 요약

저자들은 Wasserstein 모호성 집합 위에서 데이터 기반 차수 제약 문제에 대한 정확 결정론적 재구성을 도출하여, 1- 또는 ∞-노름을 사용할 때 MILP가 되는 혼합 정수 원뿔 프로그램(MILP) 형태를 제시하고, 기존 스킴과 비교해 경쟁력 있는 성능을 보임.

ABSTRACT

We provide an exact deterministic reformulation for data-driven chance constrained programs over Wasserstein balls. For individual chance constraints as well as joint chance constraints with right-hand side uncertainty, our reformulation amounts to a mixed-integer conic program. In the special case of a Wasserstein ball with the $1$-norm or the $\infty$-norm, the cone is the nonnegative orthant, and the chance constrained program can be reformulated as a mixed-integer linear program. Our reformulation compares favourably to several state-of-the-art data-driven optimization schemes in our numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 데이터 생성 분포가 불확실할 때 분포학적 강건화 최적화를 동기화합니다.
• Wasserstein 모호성 집합 하에서 데이터 기반 차수 제약에 대한 정확한 재구성을 개발합니다.
• 오른쪽-손 모수 불확실성을 갖는 개별 차수 제약과 공동 차수 제약을 모두 다룹니다.
• 계산적으로 다룰 수 있는 혼합 정수 원뿔 재구성을 제공합니다.
• 제안된 접근법을 최첨단 데이터 기반 최적화 스케줄과 비교합니다.

제안 방법

• 데이터 기반 차수 제약을 데이터 경험 분포를 중심으로 한 Wasserstein 모호성 집합으로 모델링합니다.
• Wasserstein 구역에서 안전하지 않은 사건의 최악의 확률을 특성화하고 이를 결정적 프로그램으로 재구성합니다(정리 2.2).
• 모듈러 선형화 기법으로 안전하지 않은 집합에 대한 εN개의 가장 작은 거리의 합을 선형 프로그램으로 표현합니다(보조정리 2.4).
• 결과 문제에 대한 혼합 정수 원뿔 재구성을 도출하고, 지상 노름이 1-노름 또는 ∞-노름인 경우 MILP로 축소합니다(정리 2.6 및 관련 논의).
• 재구성을 (i) 선형 안전 집합으로 ICC 문제로 이끌고 (ii) 오른손 항 불확실성을 가진 공동 차수 제약으로 특수화합니다(섹션 2.3 및 2.4).
• 사전 연구 및 관련 작업, Wasserstein DRO에 대한 정확한 재구성과 φ-발산 접근 방식과의 대조를 포함해 논의합니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 기반 차수 제약 프로그램이 Wasserstein 구(ball) 불확실성 집합일 때 정확히 어떻게 재구성될 수 있을까?
• RQ2 Wasserstein 모호성 하에서 개별 및 공동 차수 제약의 재구성은 계산적으로 어떤 형태를 갖는가?
• RQ3 이 재구성들이 혼합 정수 원뿔 프로그램으로 표현될 수 있으며 일반적인 노름에서 MILP가 될 수 있는가?
• RQ4 수치 실험에서 제안된 접근법이 기존의 데이터 기반 최적화 스케줄과 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• Wasserstein 구에서 데이터 기반 차수 제약에 대한 정확한 결정론적 재구성이 얻어지며, 혼합 정수 원뿔 프로그램으로 귀결됩니다.
• 지상 노름이 1-노름 또는 ∞-노름인 경우 재구성은 혼합 정수 선형 프로그램으로 축약됩니다.
• Affine 안전 집합을 갖는 개별 차수 제약의 경우, 재구성은 볼록-오목 변환을 통해 ICC-MILP 형태로 계산 가능합니다(정리 2.6).
• 안전하지 않은 집합에 대한 εN 최소 거리를 선형 프로그램으로 표현하여 볼록 재구성이 달성됩니다(정리 2.2 및 보조정리 2.4).
• 이 접근법은 오른손 항 불확실성을 갖는 개별 및 공동 차수 제약에 모두 적용되며, 수치 실험에서 최첨단 데이터 기반 스케줄과의 비교에서 우수하다고 주장됩니다.
• 이 연구는 Wasserstein 기반 DRO를 φ-발산 모호성 집합의 한계를 피하는 강건한 대안으로 위치시킵니다.