[논문 리뷰] Data-driven dimensional analysis: algorithms for unique and relevant dimensionless groups

Paul G. Constantine, Zachary del Rosario외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 고전적 차원 분석에 활성 하위공간과 실험/수치 데이터를 융합하여 고유하고 관련성이 높은 무차원 수를 생성하는 두 가지 데이터 기반 알고리즘을 제안한다. 이 방법들은 반응 표면 또는 유한 차분을 사용하여 관련성 순서로 정렬된 무차원 수를 식별하며, 난류 및 층류 파이프 유동에 대해 검증되었으며, 난류에 대해 새로운 순서가 매겨진 두 개의 무차원 수 집합을 도출하였다.

ABSTRACT

Classical dimensional analysis has two limitations: (i) the computed dimensionless groups are not unique, and (ii) the analysis does not measure relative importance of the dimensionless groups. We propose two algorithms for estimating unique and relevant dimensionless groups assuming the experimenter can control the system's independent variables and evaluate the corresponding dependent variable; e.g., computer experiments provide such a setting. The first algorithm is based on a response surface constructed from a set of experiments. The second algorithm uses many experiments to estimate finite differences over a range of the independent variables. Both algorithms are semi-empirical because they use experimental data to complement the dimensional analysis. We derive the algorithms by combining classical semi-empirical modeling with active subspaces, which---given a probability density on the independent variables---yield unique and relevant dimensionless groups. The connection between active subspaces and dimensional analysis also reveals that all empirical models are ridge functions, which are functions that are constant along low-dimensional subspaces in its domain. We demonstrate the proposed algorithms on the well-studied example of viscous pipe flow---both turbulent and laminar cases. The results include a new set of two dimensionless groups for turbulent pipe flow that are ordered by relevance to the system; the precise notion of relevance is closely tied to the derivative based global sensitivity metric from Sobol' and Kucherenko.

연구 동기 및 목표

• 고전적 차원 분석에서의 고유성 부족과 관련성 평가 부재 문제를 해결한다.
• 통제된 실험 또는 시뮬레이션에서 유래한 데이터를 활용하여 고유하고 관련성이 높은 무차원 수 식별을 가능하게 한다.
• 활성 하위공간을 차원 분석과 융합하여 무차원 수 중요도에 대한 체계적인 측도를 제공한다.
• 다양한 데이터 가용성과 비용 조건을 고려한 컴퓨터 실험에 적합한 실용적 알고리즘을 개발한다.
• 점성 파이프 유동에 대해 본 방법을 적용하여 난류 유동에 대해 새로운 순서가 매겨진 무차원 수 집합을 도출한다.

제안 방법

• 소수의 실험에서 유도된 반응 표면 모델을 사용하여 출력이 입력 변수에 따라 어떻게 변화하는지 추정한다.
• 반응 표면에 대해 활성 하위공간을 적용하여 헤시안의 고유벡터와 고유값을 계산하여 저차원적 구조를 식별한다.
• 활성 하위공간 기저에서 유도된 무차원 수를 통해 고유성과 관련성을 민감도 지표를 통해 보장한다.
• 고속 처리 환경에서는 많은 모델 평가를 통해 수치적으로 편도수를 추정하고 민감도 기반 지수를 계산한다.
• 파생수 기반 전역 민감도 측도를 사용하여 도출된 무차원 수를 그들의 관련성 순서로 정렬한다.
• 가장 영향력이 큰 방향과 일치하도록 입력 공간을 회전 변환하여 고유하고 순서가 매겨진 수 집합을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 차원 분석은 데이터를 활용하여 고유하고 관련성이 높은 무차원 수를 도출할 수 있는가?
• RQ2 활성 하위공간은 데이터 기반 방식으로 무차원 수의 고유 기저를 정의하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 데이터의 양과 품질이 계산된 무차원 수의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 다양한 실험 설정에서 계산 비용과 정확도 측면에서 제안된 알고리즘이 어떻게 비교되는가?
• RQ5 제안된 난류 파이프 유동을 위한 새로운 무차원 수가 레이놀즈 수나 상대적 거칠기와 같은 고전적 수보다 더 관련성이 높은가를 입증할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 활성 하위공간을 통한 데이터 기반 민감도 분석과 차원 분석을 융합하여 고유한 무차원 수를 생성한다.
• 난류 파이프 유동의 경우, 이 방법은 관련성 순서로 정렬된 새로운 두 개의 무차원 수 집합을 식별하며, 첫 번째 수가 상당히 더 영향력이 크다.
• 반응 표면 기반 알고리즘 1은 단지 1,000회의 모델 평가만으로도 작동하지만 표면 정확도에 의존한다; 알고리즘 2는 더 높은 정밀도를 확보하기 위해 483,153회의 평가를 수행한다.
• 유한 차분 기반 알고리즘 2는 반응 표면 근사 없이 직접 도함수를 추정하므로 더 높은 정확도를 달성한다.
• 활성 하위공간과 차원 분석의 연결은 모든 경험 모델이 릿지 함수임을 시사하며, 입력-출력 관계에 낮은 차원의 구조가 존재함을 의미한다.
• 결과적으로 난류 유동에서 고전적 무차원 수 표현과 새로운 표현 간에 127도의 회전이 발생하여 중요도의 재정렬이 확인되었다.