[논문 리뷰] Data-driven Efficient Solvers and Predictions of Conformational Transitions for Langevin Dynamics on Manifold in High Dimensions.

Yuan Gao, Jianguo Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 22.

Gaussian Processes and Bayesian Inference참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반응 좌표를 확산 맵을 통해 유도한 데이터 기반의 조건부 안정성 있는 상류법을 제안한다. 이 방법은 다양체 위에서 포켈-플랑크 방정식을 해결하는 데 사용되며, 균형 잠재 에너지를 추론하고 궤적을 고차원 공간으로 복원하기 위해 가우시안 프로세스 회귀를 활용함으로써 고차원 시스템에서 구조를 유지하는 효율적인 구성 전이 시뮬레이션을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We work on dynamic problems with collected data $\{\mathsf{x}_i\}$ that distributed on a manifold $\mathcal{M}\subset\mathbb{R}^p$. Through the diffusion map, we first learn the reaction coordinates $\{\mathsf{y}_i\}\subset \mathcal{N}$ where $\mathcal{N}$ is a manifold isometrically embedded into an Euclidean space $\mathbb{R}^\ell$ for $\ell \ll p$. The reaction coordinates enable us to obtain an efficient approximation for the dynamics described by a Fokker-Planck equation on the manifold $\mathcal{N}$. By using the reaction coordinates, we propose an implementable, unconditionally stable, data-driven upwind scheme which automatically incorporates the manifold structure of $\mathcal{N}$. Furthermore, we provide a weighted $L^2$ convergence analysis of the upwind scheme to the Fokker-Planck equation. The proposed upwind scheme leads to a Markov chain with transition probability between the nearest neighbor points. We can benefit from such property to directly conduct manifold-related computations such as finding the optimal coarse-grained network and the minimal energy path that represents chemical reactions or conformational changes. To establish the Fokker-Planck equation, we need to acquire information about the equilibrium potential of the physical system on $\mathcal{N}$. Hence, we apply a Gaussian Process regression algorithm to generate equilibrium potential for a new physical system with new parameters. Combining with the proposed upwind scheme, we can calculate the trajectory of the Fokker-Planck equation on $\mathcal{N}$ based on the generated equilibrium potential. Finally, we develop an algorithm to pullback the trajectory to the original high dimensional space as a generative data for the new physical system.

연구 동기 및 목표

• 데이터 기반 차원 축소를 통해 고차원 다양체 위에서 포켈-플랑크 역학의 효율적이고 안정적인 수치적 해를 도출하는 것.
• 기하학적 구조를 유지하고 무조건적 안정성을 보장하는 다양체 인식 수치적 방법을 개발하는 것.
• 가우시안 프로세스 회귀를 통해 균형 잠재 에너지를 학습하여 알려지지 않은 매개변수를 가진 새로운 물리 시스템에서 구성 전이를 예측하는 것.
• 낮은 차원의 역학을 원래 공간으로 복원하여 새로운 시스템의 고차원 궤적을 생성하는 것.
• 최소 에너지 경로 식별 및 최적의 군집 모델링 네트워크와 같은 군집 모델링 작업을 지원하는 것.

제안 방법

• 고차원 데이터로부터 반응 좌표를 추출하기 위해 확산 맵을 적용하여 다양체를 저차원 유클리드 공간에 등장적으로 통합한다.
• 기저가 되는 기하학을 존중하는 데이터 기반의 무조건적 안정성 있는 상류법 유한차분 스킴을 반응 좌표 다양체 위에 구축한다.
• 포켈-플랑크 방정식에 대한 상류법의 이론적 안정성과 정확도를 확보하기 위해 가중치 $L^2$ 수렴 분석을 수행한다.
• 유사한 시스템으로부터의 기존 데이터를 기반으로 훈련된 가우시안 프로세스 회귀를 사용하여 새로운 물리 시스템의 균형 잠재 에너지를 모델링한다.
• 유추된 잠재 에너지와 상류법을 사용하여 낮은 차원의 다양체 위에서 포켈-플랑크 역학을 시뮬레이션한다.
• 결과로 도출된 낮은 차원 궤적을 원래 고차원 공간으로 복원하여 새로운 시스템의 합성 데이터를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측된 데이터만을 사용하여 고차원 다양체 위에서 포켈-플랑크 역학을 효율적이고 안정적으로 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 반응 좌표는 구성 전이의 정확하고 안정적인 수치적 근사에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 완전한 재시뮬레이션 없이도 알려지지 않은 매개변수를 가진 새로운 물리 시스템으로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 데이터 기반 상류법은 수치적 안정성을 확보하면서도 기저 다양체의 기하학적 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ5 낮은 차원의 역학과 학습된 잠재 에너지를 바탕으로 새로운 시스템에 대해 고정밀 고차원 궤적을 어떻게 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 상류법은 무조건적으로 안정적이며 자동으로 반응 좌표 공간의 다양체 구조를 통합한다.
• 가중치 $L^2$ 수렴 분석은 포켈-플랑크 방정식에 대한 수치적 방법의 이론적 정확성과 강건성을 확인한다.
• 가우시안 프로세스 회귀를 통해 알려지지 않은 매개변수를 가진 새로운 물리 시스템의 균형 잠재 에너지를 신뢰성 있게 추론할 수 있다.
• 낮은 차원의 역학을 복원함으로써 이 방법은 새로운 시스템에 대한 고차원 궤적 생성에 성공한다.
• 최근접 이웃 전이 기반의 마르코프 체인 설정은 최소 에너지 경로 및 최적의 군집 모델링 네트워크를 직접 계산하는 데 유용하다.
• 이 프레임워크는 시스템의 잠재 에너지 표면에 대한 명시적 지식 없이도 구성 전이의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 한다.