[논문 리뷰] Data-Driven Feedback Linearization using the Koopman Generator

Darshan Gadginmath, Vishaal Krishnan외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 10.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실험 데이터에서 상태 및 제어 변환을 식별하기 위해 코프만 생성자(Koopman generator)를 활용하는 데이터 기반 피드백 선형화 방법인 KGFL을 제안한다. 피드백 선형화 가능한 시스템의 경우 선형화를 달성하며, 기하학적 제어 이론과 연산자 이론 기반 코프만 분석을 통합함으로써 유한 차원이자 니르포텐트(Nilpotent)인 코프만 생성자를 가능하게 하며, 사전 사례 기반 해를 정확히 복원할 수 있다.

ABSTRACT

This paper contributes a theoretical framework for data-driven feedback linearization of nonlinear control-affine systems. We unify the traditional geometric perspective on feedback linearization with an operator-theoretic perspective involving the Koopman operator. We first show that if the distribution of the control vector field and its repeated Lie brackets with the drift vector field is involutive, then there exists an output and a feedback control law for which the Koopman generator is finite-dimensional and locally nilpotent. We use this connection to propose a data-driven algorithm Koopman Generator-based Feedback Linearization (KGFL) for feedback linearization. Particularly, we use experimental data to identify the state transformation and control feedback from a dictionary of functions for which feedback linearization is achieved in a least-squares sense. We also propose a single-step data-driven formula which can be used to compute the linearizing transformations. When the system is feedback linearizable and the chosen dictionary is complete, our data-driven algorithm provides the same solution as model-based feedback linearization. Finally, we provide numerical examples for the data-driven algorithm and compare it with model-based feedback linearization. We also numerically study the effect of the richness of the dictionary and the size of the data set on the effectiveness of feedback linearization.

연구 동기 및 목표

• 모델 기반 피드백 선형화와 데이터 기반 제어 사이의 격차를 메우기 위해 기하학적 제어 이론과 코프만 연산자 이론을 통합한다.
• 시스템 동역학에 대한 명시적 지식 없이도 실험 궤적만으로 상태 및 제어 변환을 식별하는 데이터 기반 알고리즘을 개발한다.
• 피드백 선형화 가능한 시스템에 대응하는 코프만 생성자가 유한 차원이자 니르포텐트가 되는 이론적 조건을 설정한다.
• 관측자 사전(dictionary)이 완전할 경우, 제안된 방법이 모델 기반 피드백 선형화와 동일한 해를 복원함을 보여준다.
• 관측자 사전의 풍부함, 데이터셋 크기, 샘플링 주기의 영향을 데이터 기반 피드백 선형화 성능에 대해 조사한다.

제안 방법

• 관측자 사전(예: 에르미트 다항식, 사인파 등)을 사용하여 상태 변환 $ H(x) $ 와 제어 피드백 $ u = \alpha(x) + \beta(x)v $ 를 최소 제곱 최적화 프레임워크 내에서 표현한다.
• 피드백 선형화 문제를 유한 차원이자 局소 니르포텐트인 코프만 생성자 행렬을 식별하는 문제로 재구성하며, 이는 선형화 변환의 존재를 의미한다.
• 동적 모드 분해(DMD) 또는 확장된 DMD(EDMD)를 사용하여 관측자 유한 차원 부분공간에서 생성자를 근사함으로써 데이터로부터 코프만 생성자를 계산한다.
• 반복 최적화를 피하기 위해 데이터로부터 직접 선형화 변환을 계산하는 단일 단계 데이터 기반 공식을 유도한다.
• 변환된 시스템의 코프만 생성자가 니르포텐트임을 보장함으로써, 동역학의 유한 차원 선형 표현의 존재를 암시한다.
• 바나 허 폴 오실레이터와 3차원 비선형 시스템에서 수치적 검증을 수행하여, 모델 기반 피드백 선형화 및 기타 데이터 기반 기준과의 성능을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피드백 선형화 가능한 시스템의 코프만 생성자가 어떤 조건에서 유한 차원이자 니르포텐트가 되는가?
• RQ2 관측자 사전이 완전할 경우, 데이터 기반 알고리즘이 모델 기반 피드백 선형화와 동일한 상태 및 제어 변환을 복원할 수 있는가?
• RQ3 관측자 사전의 풍부함과 데이터셋 크기가 학습된 피드백 선형화 변환의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 샘플링 주기는 데이터 기반 피드백 선형화 알고리즘의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 방법은 출력 피드백 선형화에서 안정적인 제로 동역학을 달성할 수 있는가? 이는 불안정한 내부 동역학를 피하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 관측자 사전이 완전할 경우, 제안된 KGFL 알고리즘이 모델 기반 피드백 선형화와 유사한 성능을 보이며, 근사 오차로 인한 미미한 오버슈트 및 정착 시간 차이 외에는 거의 동일한 성능을 나타낸다.
• 모델 기반 선형화에서의 편차를 측정하는 손실 $ Q_T $ 는 관측자 사전의 풍부함이 증가함에 따라 제3차 에르미트 다항식까지 감소하지만, 제4차를 초월해 과적합이 발생함에 따라 다시 증가한다.
• 데이터셋 크기가 100에서 800개로 증가함에 따라 평균 손실이 균일하게 감소하며, 더 많은 데이터가 학습 성능 향상에 기여함을 시사한다.
• 바나 허 폴 오실레이터의 경우 샘플링 간격이 성능에 미치는 영향이 미미하며, 심지어 0.001의 느린 샘플링 주기에서도 성능 저하가 없었다.
• 에르미트 다항식의 차수 3까지와 $ \sin(x) $ 를 포함한 관측자 사전을 사용하여 3차원 비선형 시스템을 성공적으로 안정화시켰으며, 저차원 시스템을 초월한 확장성(스케일러빌리티)을 입증하였다.
• 특히 복잡한 시스템의 안정화에서, 기존의 데이터 기반 방법들인 [11], [19], [21] 과 비교해 볼 때 KGFL은 전반적인 성능에서 뛰어난 성능을 보였다.