[논문 리뷰] Data-Driven Filtered Reduced Order Modeling Of Fluid Flows

Xuping Xie, Muhammad Mohebujjaman외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 11.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 43인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 공간 필터링과 데이터 기반 모델링을 조합하여 표준 투영 기반 ROM보다 정확도를 향상시키는 데이터 기반 필터링 축소 차원 모델(DDF-ROM)을 제안한다. ROM을 해결된 모드와 해결되지 않은 모드로 분리하기 위해 필터링을 적용하고, 최적화를 통해 데이터 기반 계수로 시스템를 닫음으로써 DDF-ROM은 특히 낮은 모드 수에서 상당히 높은 정확도를 달성하면서도 표준 ROM과 유사한 계산 효율성을 유지한다.

ABSTRACT

We propose a data-driven filtered reduced order model (DDF-ROM) framework for the numerical simulation of fluid flows. The novel DDF-ROM framework consists of two steps: (i) In the first step, we use explicit ROM spatial filtering of the nonlinear PDE to construct a filtered ROM. This filtered ROM is low-dimensional, but is not closed (because of the nonlinearity in the given PDE). (ii) In the second step, we use data-driven modeling to close the filtered ROM, i.e., to model the interaction between the resolved and unresolved modes. To this end, we use a quadratic ansatz to model this interaction and close the filtered ROM. To find the new coefficients in the closed filtered ROM, we solve an optimization problem that minimizes the difference between the full order model data and our ansatz. We emphasize that the new DDF-ROM is built on general ideas of spatial filtering and optimization and is independent of (restrictive) phenomenological arguments. We investigate the DDF-ROM in the numerical simulation of a 2D channel flow past a circular cylinder at Reynolds number $Re=100$. The DDF-ROM is significantly more accurate than the standard projection ROM. Furthermore, the computational costs of the DDF-ROM and the standard projection ROM are similar, both costs being orders of magnitude lower than the computational cost of the full order model. We also compare the new DDF-ROM with modern ROM closure models in the numerical simulation of the 1D Burgers equation. The DDF-ROM is more accurate and significantly more efficient than these ROM closure models.

연구 동기 및 목표

• 해결되지 않은 모드 간의 상호작용으로 인해 낮은 모드 수를 사용할 경우 표준 투영 기반 축소 차원 모델(Proj-ROMs)의 정확도가 떨어지는 문제를 해결하기 위해.
• 난류 점성도와 같은 제한적인 현상학적 가정에 의존하는 전통적인 ROM 폐쇄 모델의 한계를 극복하기 위해.
• 완전한 순서 모델(FOM) 데이터를 활용하여 해결되지 않은 모드 효과를 모델링하는 일반적이고 현상학적이지 않은 ROM 폐쇄 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 저차원 표현에서 유체역학 문제의 축소 차원 시뮬레이션에서 계산 효율성과 정확도를 향상시키기 위해.
• 유체역학을 초월하여 물리적 가정을 최소화한 다른 비선형 PDE에 적용 가능한 융통성 있는 데이터 기반 접근법을 수립하기 위해.

제안 방법

• 완전한 순서 모델(FOM)에 명시적 공간 필터링을 적용하여 해결된 모드와 해결되지 않은 모드를 분리하는 필터링된 ROM(F-ROM)을 유도한다.
• 비선형성으로 인해 닫히지 않는 저차원 동역학 시스템을 구성하기 위해 감소된 공간에 대한 갈레르킨 투영을 수행한다.
• 해결된 모드와 해결되지 않은 모드 간의 상호작용을 이차 다항식 형태의 하위필터 스케일 응력 텐서 $\boldsymbol{\tau}_r^{SFS}$로 모델링한다.
• FOM 데이터와 다항식 형태 간의 최소 제곱 오차를 최소화하는 최적화 문제를 풀어 다항식의 계수를 결정한다.
• 투영 기반 ROM과 데이터 기반 폐쇄를 융합한 최종 DDF-ROM을 구성하여 물리적 현상학에 의존하지 않는다.
• 검증 및 비교를 위해 Re=100에서 실린더 뒤의 2D 채널 흐름과 1D 버거스 방정식에 이 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터 기반 필터링 ROM 프레임워크가 유체 흐름 시뮬레이션에서 표준 투영 기반 ROM보다 정확도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 DDF-ROM은 LES-ROM과 같은 최첨단 ROM 폐쇄 모델과 비교해 정확도와 계산 비용 측면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ3 표준 Proj-ROM이 실패하는 낮은 수의 축소 모드에서도 DDF-ROM이 높은 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 DDF-ROM 프레임워크는 유체역학을 초월한 다른 비선형 PDE에 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 에너지 보존과 같은 물리적 제약 조건을 포함한 제약 최적화 대비 제약이 없는 최적화를 사용한 폐쇄 방식의 성능 비교는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 2D 채널 흐름에서 실린더 뒤의 Re=100 조건에서 DDF-ROM은 표준 갈레르킨 ROM(G-ROM)보다 상당히 높은 정확도를 달성했으며, 특히 낮은 모드 수에서 두드러졌다.
• 1D 버거스 방정식의 경우, r=15 모드에서 DDF-ROM은 다음으로 정확도가 높은 방법인 AD-ROM 대비 오차를 최대 55%까지 감소시켰으며, 오차는 0.0532에서 0.0446으로 감소했다.
• r=15 모드에서 DDF-ROM은 최첨단 LES-ROM보다 상당히 빠른 성능을 보였으며, CPU 시간이 최대 30% 감소했다.
• 모든 테스트된 모드 수(r=6,10,15)에서 DDF-ROM은 L-ROM-DF, EF-ROM, AD-ROM보다 정확도와 효율성 면에서 모두 뛰어났다.
• 프레임워크의 계산 비용은 완전한 순서 모델보다 수개의 주기수 낮았으며, 높은 정확도를 유지했다.
• 더 높은 차수의 다항식 형태를 사용할 경우 향상 가능성을 더욱 높일 수 있음을 시사하며, DDF-ROM-선형 변형을 사용할 때조차도 성능이 우수하여 향후 개선 잠재력이 크다는 점을 확인했다.