[논문 리뷰] Data-driven Predictive Tracking Control based on Koopman Operators

Ye Wang, Yujia Yang외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 25.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템을 위한 데이터 기반 예측 제어 프레임워크인 Koopman 추적 모델 예측 제어(Koosman Tracking Model Predictive Control, KTMPC)를 제안한다. 이는 신경망을 통해 비선형 역학을 선형 표현으로 올리는 Koopman 연산자를 사용한다. 제약 조건 강화와 리아푸노프 기반 안정성 분석을 통합함으로써, 모델링 오차가 존재하는 상황에서도 재귀적 타당성과 최적 도달 가능한 정상 상태 주변의 입력-상태 안정성을 보장한다. 수치 예제와 자율 주행 차량 추적에 대한 실험을 통해 성능을 입증하였다.

ABSTRACT

Constraint handling during tracking operations is at the core of many real-world control implementations and is well understood when dynamic models of the underlying system exist, yet becomes more challenging when data-driven models are used to describe the nonlinear system at hand. We seek to combine the nonlinear modeling capabilities of a wide class of neural networks with the constraint-handling guarantees of model predictive control (MPC) in a rigorous and online computationally tractable framework. The class of networks considered can be captured using Koopman operators, and are integrated into a Koopman-based tracking MPC (KTMPC) for nonlinear systems to track piecewise constant references. The effect of model mismatch between original nonlinear dynamics and its trained Koopman linear model is handled by using a constraint tightening approach in the proposed tracking MPC strategy. By choosing two Lyapunov functions, we prove that solution is recursively feasible and input-to-state stable to a neighborhood of both online and offline optimal reachable steady outputs in the presence of bounded modeling errors under mild assumptions. Finally, we demonstrate the results on a numerical example, before applying the proposed approach to the problem of reference tracking by an autonomous ground vehicle.

연구 동기 및 목표

• 오직 데이터만 제공되고 명시적인 비선형 모델에 접근할 수 없는 상황에서 비선형 시스템의 시간에 따라 변하는 참조값을 추적하는 데 도전하는 것.
• 신경망을 통한 Koopman 연산자를 활용해 예측 제어 프레임워크에 모델링 능력을 통합함으로써 제약 조건 처리 및 안정성 보장을 유지하는 것.
• 유한 차원 Koopman 근사에서 발생하는 유계 모델링 오차가 존재하는 상황에서도 재귀적 타당성과 입력-상태 안정성을 보장하는 것.
• 기존 Koopman 기반 MPC 방법을 정규화에서 추적 제어로 확장하여 자율 시스템에서 실용적인 응용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 유한 차원 Koopman 연산자를 사용하여 원래의 비선형 시스템 역학을 고차원 공간으로 올리는 방식으로, 이는 신경망 또는 기저 함수(예: 다항식, RBF)를 통해 근사된다.
• 시스템 궤적과 실시간으로 결정되는 최적 도달 가능한 정상 출력을 동시에 최적화하는 Koopman 기반 추적 MPC(KTMPC)를 구성하여 재귀적 타당성을 향상시킨다.
• 진짜 비선형 역학과 Koopman 선형 모델 간의 모델 불일치를 고려하기 위해 반복적 제약 조건 강화 전략을 적용하여 실시간으로 상태 및 입력 제약 조건을 만족시킨다.
• 재귀적 타당성과 유계 모델링 오차 하에서 최적 도달 가능한 정상 상태 주변의 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)을 보장하기 위해 두 개의 리아푸노프 함수를 사용한다.
• 두 단계의 리아푸노프 분석을 수행한다: 하나는 추적 오차에 대해, 다른 하나는 정상 상태 편차에 대해 적용하며, 행렬 노름과 고유값 성질을 이용해 경계를 유도한다.
• 실시간으로 정상 상태 목표를 최적화하여 제어기가 참조 변화에 적응하면서도 안정성과 제약 조건 만족을 유지할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데이터에서 유도된 Koopman 기반 선형 모델이 비선형 시스템의 추적 MPC 프레임워크에 효과적으로 활용될 수 있는가? 이는 안정성과 제약 조건 만족을 보장하는가?
• RQ2 유한 차원 Koopman 근사에서 발생하는 모델링 오차는 예측 제어 프레임워크 내에서 어떻게 다루어질 수 있는가? 이는 재귀적 타당성과 안정성을 유지하는가?
• RQ3 유계 모델링 오차 하에서 최적 도달 가능한 정상 상태 주변의 입력-상태 안정성(_ISS_)을 보장하는 리아푸노프 기반 조건은 무엇인가?
• RQ4 제안된 KTMPC 전략은 표준 MPC 또는 Koopman 기반 정규화 방법과 비교해 추적 성능과 내성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 리프팅 함수의 선택(예: 신경망, 다항식)이 Koopman 모델의 정확도와 최종 제어 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 KTMPC는 Koopman 모델이 진짜 비선형 역학의 근사임에도 불구하고, 유계 모델링 오차 하에서도 폐쇄형 시스템의 재귀적 타당성을 보장한다.
• 폐쇄형 시스템에 대해 입력-상태 안정성(ISS)이 증명되었으며, 상태는 최적 도달 가능한 정상 상태 주변의 이웃 영역으로 수렴한다. 이 이웃의 크기는 모델링 오차의 크기에 비례한다.
• 제약 조건 강화 전략은 모델 불일치를 효과적으로 처리하여, 불완전한 Koopman 모델이 존재하는 상황에서도 실시간으로 상태 및 입력 제약 조건을 만족시킨다.
• 이론적 분석을 통해 안정성 이웃의 크기가 추정 오차 경계에 비례하며, Koopman 모델의 근사 정확도에 명시적인 의존성이 있음을 밝혔다.
• 수치 결과는 데이터로부터 학습된 Koopman 모델을 사용하여 조각별로 일정한 참조값을 성공적으로 추적함을 보여주며, 안정적이고 제약 조건을 만족하는 행동을 보였다.
• 자율 주행 차량에 대한 적용은 이 방법의 실용적 타당성을 확인하였으며, 현실적인 동역학 및 제약 조건 하에서도 참조 궤적을 정확하게 추적하는 데 성공하였다.