[논문 리뷰] Data-Driven Robust Optimization Using Scenario-Induced Uncertainty Sets

Meysam Cheramin, Richard Li-Yang Chen외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 11.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 22인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 주성분 분석(PCA)을 사용하여 데이터 기반의 다각형 불확실성 집합을 제안하며, 타당성, 보수성, 강건성 사이의 균형을 이루는 시나리오 유도 불확실성 집합을 생성한다. 상관관계가 있는 시나리오를 상호상관이 없는 주성분으로 변환하고, 주요 성분으로 잘라내어, 솔루션 품질과 계산 복잡성 사이에 직접적인 트레이드오프를 가능하게 한다. 최적성 갭과 표본 크기 요구 조건에 대한 이론적 경계를 제공한다.

ABSTRACT

Uncertainty sets are at the heart of robust optimization (RO) because they play a key role in determining the RO models' tractability, robustness, and conservativeness. Different types of uncertainty sets have been proposed that model uncertainty from various perspectives. Among them, polyhedral uncertainty sets are widely used due to their simplicity and flexible structure to model the underlying uncertainty. However, the conventional polyhedral uncertainty sets present certain disadvantages; some are too conservative while others lead to computationally expensive RO models. This paper proposes a systematic approach to develop data-driven polyhedral uncertainty sets that mitigate these drawbacks. The proposed uncertainty sets are polytopes induced by a given set of scenarios, capture correlation information between uncertain parameters, and allow for direct trade-offs between tractability and conservativeness issue of conventional polyhedral uncertainty sets. To develop these uncertainty sets, we use principal component analysis (PCA) to transform the correlated scenarios into their uncorrelated principal components and to shrink the uncertainty space dimensionality. Thus, decision-makers can use the number of the leading principal components as a tool to trade-off tractability, conservativeness, and robustness of RO models. We quantify the quality of the lower bound of a static RO problem with a scenario-induced uncertainty set by deriving a theoretical bound on the optimality gap. Additionally, we derive probabilistic guarantees for the performance of the proposed scenario-induced uncertainty sets by developing explicit lower bounds on the number of scenarios. Finally, we demonstrate the practical applicability of the proposed uncertainty sets to trade-off tractability, robustness, and conservativeness by examining a range of knapsack and power grid problems.

연구 동기 및 목표

• 기존의 다각형 불확실성 집합이 너무 보수적이거나 계산 비용이 높다는 한계를 해결한다.
• 불확실한 매개변수 간 상관관계를 포착하면서도 계산 타당성을 향상시키는 데이터 기반의 불확실성 집합을 개발한다.
• 주성분의 수를 통해 강건성, 보수성, 계산 효율성 사이의 체계적 트레이드오프를 가능하게 하는 방법론을 제시한다.
• 정적 RO 문제의 최적 해와 그 하한값 사이의 최적성 갭에 대한 이론적 경계를 수립한다.
• 높은 신뢰도로 성능 보장을 확보하기 위해 필요한 최소 시나리오 수를 결정함으로써 성능에 대한 확률적 보장을 도출한다.

제안 방법

• PCA를 사용하여 역사를 기반으로 한 시나리오를 주성분으로 변환하여 불확실성의 차원을 분리하고 감소시킨다.
• 첫 $ m_1 $개의 주성분을 기반으로 다각형 불확실성 집합을 볼록결합으로 구성하여 시나리오 유도 불확실성 집합 $ \tilde{\boldsymbol{\rho}}_{\text{pca}}(\boldsymbol{S}, m_1) $를 형성한다.
• 주성분의 수 $ m_1 $를 제어 변수로 사용하여 강건성과 타당성 사이의 균형을 조절한다.
• 조각별 선형 목표 함수를 가진 정적 RO 문제에서 최적 해의 값과 그 하한값 사이의 갭에 대한 이론적 상한을 유도한다.
• 고도의 신뢰도로 성능 보장을 확보하기 위해 필요한 최소 시나리오 수에 대한 명시적 하한을 도출한다.
• 실제 응용 사례로 쓰이는 배낭 문제와 전력망 문제에 이 방법을 적용하여 실용적 트레이드오프를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 집합과 비교해 상관관계를 더 잘 포착하고 보수성을 줄일 수 있는 데이터 기반의 다각형 불확실성 집합은 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 주성분의 수 $ m_1 $는 계산 타당성과 솔루션의 강건성 사이의 체계적 트레이드오프에 얼마나 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ3 시나리오 유도 불확실성 집합을 사용한 정적 RO 문제에서 강건 솔루션과 그 하한값 사이의 최적성 갭에 대해 어떤 이론적 경계를 설정할 수 있는가?
• RQ4 제안된 불확실성 집합의 성능 보장을 위한 확률적 보장 수준을 확보하기 위해 필요한 최소 시나리오 수는 얼마인가?
• RQ5 기존의 표준 불확실성 집합과 비교해, 제안된 불확실성 집합은 전력망 문제와 배낭 문제와 같은 실제 응용 분야에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 전력망 문제에서 $ m_1 = 36 $개의 주성분을 사용할 경우, 전체 차원($ m $)인 $ m_1 = m $ 대비 하한값 갭이 15.71에서 12.37로 감소하여 타당성은 향상되었고, 강건성은 유지되었다.
• $ \rho_1 = 0.9 $일 경우, $ m_1 = 42 $로 증가시켰을 때 갭은 0.61%로 감소하여, 더 높은 $ m_1 $ 값이 계산 비용을 관리 가능한 수준으로 유지하면서도 더 날카운 강건한 하한값을 제공함을 시사한다.
• $ \rho_1 = 0.5 $일 때, 전력망 문제의 해를 구하는 데 걸리는 시간은 전체 $ m_1 $일 경우 73.2초에서 $ m_1 = 42 $일 경우 2.9초로 감소하여 뚜렷한 계산 성능 향상을 보였다.
• 배낭 문제에서 상자 형태의 불확실성 집합 대비 1.61배 낮은 최적성 갭을 달성하여 보수성을 감소시키면서도 강건성을 유지함을 보였다.
• 이론적 분석을 통해 하한값 갭이 유한한 경계를 가짐을 확인하였고, 확률적 보장 수준을 확보하기 위해 필요한 시나리오 수는 신뢰도와 차원 수에 따라 유리하게 증가함을 확인하였다.
• 실험 결과에 따르면 $ m_1 $는 실용적인 제어 장치로 기능한다: $ m_1 $를 증가시키면 갭이 좁아지고 강건성이 향상되며, $ m_1 $를 감소시키면 타당성이 향상된다.