[논문 리뷰] Data-Driven Sensitivity Indices for Models With Dependent Inputs Using the Polynomial Chaos Expansion

Zhanlin Liu, Youngjun Choe|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 29.

Probabilistic and Robust Engineering Design인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 입력 간 의존성 구조에 대한 사전 지식이 없이도 다항혼합확장(PCE)을 사용하여 종속 입력을 가진 모델에서 분산 기반 민감도 지표를 계산하는 데이터 기반 방법을 제안한다. 수정된 그람-슈미트 알고리즘을 경험적 데이터에 적용하여 정규직교 다항식을 구축하고, 이를 통해 해석 가능한 민감도 지표를 도출함으로써 종속 입력이 출력 분산에 기여하는 방식을 정량화한다.

ABSTRACT

Uncertainties exist in both physics-based and data-driven models. Variance-based sensitivity analysis characterizes how the variance of a model output is propagated from the model inputs. The Sobol index is one of the most widely used sensitivity indices for models with independent inputs. For models with dependent inputs, different approaches have been explored to obtain sensitivity indices in the literature. Typical approaches are based on procedures of transforming the dependent inputs into independent inputs. However, such transformation requires additional information about the inputs, such as the dependency structure or the conditional probability density functions. In this paper, data-driven sensitivity indices are proposed for models with dependent inputs. We first construct ordered partitions of linearly independent polynomials of the inputs. The modified Gram-Schmidt algorithm is then applied to the ordered partitions to generate orthogonal polynomials with respect to the empirical measure based on observed data of model inputs and outputs. Using the polynomial chaos expansion with the orthogonal polynomials, we obtain the proposed data-driven sensitivity indices. The sensitivity indices provide intuitive interpretations of how the dependent inputs affect the variance of the output without a priori knowledge on the dependence structure of the inputs. Three numerical examples are used to validate the proposed approach.

연구 동기 및 목표

• 기존 소볼 지표가 직접 적용되지 않는 종속 입력을 가진 모델에서 분산 기반 민감도 분석의 과제를 해결한다.
• 입력 의존성 구조에 대한 가정이나 조건부 밀도 함수가 필요로 하는 기존 방법의 한계를 극복한다.
• 입력-출력 관측 데이터를 활용하여 입력 의존성에 대한 사전 지식 없이 민감도 지표를 추정하는 데이터 기반 프레임워크를 개발한다.
• 경험적 측도로부터 유도된 정규직교 다항식 전개를 통해 출력 분산에 대한 입력 기여도를 직관적으로 해석할 수 있도록 한다.
• 종속 입력으로부터 출력 변동성의 계층적 설명을 제공하는 조건부 순서 기반 민감도 지표를 도입한다.

제안 방법

• 입력 데이터로부터 선형 독립적인 다항식의 순서된 분할을 구성하여 다항혼합확장의 기저를 형성한다.
• 관측된 입력-출력 데이터로부터 유도된 경험적 측도에 대해 수정된 그람-슈미트 알고리즘을 적용하여 다항식 기저를 정규직교화한다.
• 결과로 얻어진 정규직교 다항식을 사용하여 모델 응답을 근사하는 다항혼합확장(PCE) 모델을 구축한다.
• PCE 계수에서 데이터 기반 민감도 지표를 도출하여 출력 불확실성의 분산 기반 분해를 가능하게 한다.
• 계층적 해석을 제공하는 조건부 순서 기반 민감도 지표를 도입하여 출력 분산에 대한 입력 기여도를 계층적으로 설명한다.
• 수치 예제를 통해 제안된 방법이 입력 의존성 구조를 가정하지 않고 민감도 지표를 추정하는 데 있어 정확성과 강건성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 입력 의존성 구조에 대한 사전 지식이 없을 때 종속 입력을 가진 모델에서 분산 기반 민감도 지표를 신뢰성 있게 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 입력이 종속된 상태를 독립적으로 변환하지 않아도 되는 데이터 기반 PCE 기반 방법이 해석 가능하고 정확한 민감도 지표를 생성할 수 있는가?
• RQ3 기존 표준 PCE 접근법에 비해 수정된 그람-슈미트 알고리즘이 경험적 데이터로부터 정규직교 다항식을 구성할 때 수치적 안정성을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 제안된 방법이 제한적인 가정을 요구하지 않으면서도 변환 기반 방법의 결과와 유사한 민감도 지표를 얼마나 잘 추정할 수 있는가?
• RQ5 제안된 조건부 순서 기반 민감도 지표는 종속 입력을 가진 모델에서 입력 기여도의 해석 가능성을 어떻게 향상시키는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 입력 의존성 구조에 대한 지식 없이도 관측된 입력-출력 데이터만으로 종속 입력을 가진 모델에 대해 해석 가능한 민감도 지표를 성공적으로 계산한다.
• 수정된 그람-슈미트 알고리즘은 경험적 데이터로부터 정규직교 다항식을 구성하는 데 있어 수치적 안정성을 향상시켜 표준 PCE 접근법에 비해 강건성을 높인다.
• 이 방법은 조건부 밀도나 입력 분포에 대한 가정이 필요 없이 [16], [17]과 같은 변환 기반 방법의 결과와 유사한 민감도 지표를 추정한다.
• 예제 3에서 분석적 지표와 데이터 기반 민감도 지표 간에 $X_1X_2$, $X_3X_4$, $X_5X_6$의 곱항에 대해 근접한 일치를 보이며, 방법의 정확성을 검증한다.
• 예제 4에서는 데이터 기반 PCE 모델에서 유도된 민감도 지표가 응답표면 모델로부터 확보한 기준값과 잘 일치함을 보이며, 복잡한 의존 구조 하에서도 강건성을 입증한다.
• 조건부 순서 기반 민감도 지표는 출력 분산의 계층적 분해를 제공하여 종속 입력 그룹이 불확실성에 기여하는 방식을 더 명확히 해석할 수 있도록 한다.