[논문 리뷰] Data-driven stabilization of nonlinear polynomial systems with noisy data

Meichen Guo, Claudio De Persis외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 16.

Control Systems and Identification참고 문헌 25인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 사전 시스템 식별 없이 노이즈가 있는 입력-상태 데이터를 사용하여 연속시간 비선형 다항식 시스템을 안정화하는 데이터 기반 방법을 제안한다. 안정성 조건을 데이터에 의존하는 제곱합(SOS) 프로그램으로 공식화함으로써, 알려지지 않은 노이즈가 제곱형 경계를 가진 상황에서도 직접적으로 안정화되는 상태 피드백 제어기와 리아푸노프 함수를 계산할 수 있으며, 행렬 기반 부등식과 SOS 최적화를 활용하여 계산의 실현 가능성을 확보한다.

ABSTRACT

In a recent paper we have shown how to learn controllers for unknown linear systems using finite-sized noisy data by solving linear matrix inequalities. In this note we extend this approach to deal with unknown nonlinear polynomial systems by formulating stability certificates in the form of data-dependent sum of squares programs, whose solution directly provides a stabilizing controller and a Lyapunov function. We then derive variations of this result that lead to more advantageous controller designs. The results also reveal connections to the problem of designing a controller starting from a least-square estimate of the polynomial system.

연구 동기 및 목표

• 유한하고 노이즈가 있는 입력-상태 데이터만을 사용하여 알려지지 않은 비선형 다항식 시스템을 안정화하는 데 도전한다.
• 기존의 모델 기반 또는 노이즈 간과 접근 방식의 한계를 극복하기 위해 선형 시스템에서 비선형 다항식 시스템으로 직접 데이터 기반 제어를 확장한다.
• 제곱합(SOS) 최적화와 데이터에 의존하는 리아푸노프 함수를 활용하여 전역 안정화를 위한 계산적으로 실현 가능한 조건을 제공한다.
• 상태에 따라 변하는 입력 벡터장과 제곱형 제약 조건을 가진 알려지지 않은 노이즈를 처리하여, 이전의 노이즈 없는 또는 선형화된 결과를 향상시킨다.
• SOS 프로그램을 통해 담당 변수의 차수를 조절할 수 있도록 닫힌 루프 표현을 재구성함으로써 계산 효율성을 향상시킨다.

제안 방법

• 유한하고 노이즈가 있는 데이터를 기반으로 한 닫힌 루프 표현을 공식화하여, 시스템 동역학을 데이터로 매개변수화함으로써, 비선형 다항식 시스템으로 Willems의 기본 렘마를 확장한다.
• 상태에 따라 변하는 입력 벡터장과 제곱형 제약 조건을 통한 노이즈를 처리하기 위해 수정된 닫힌 루프 표현을 도입한다.
• 행렬 기반 윌리엄스의 부등식과 S-레마의 변형을 적용하여 데이터에 의존하는 제곱합(SOS) 프로그램을 유도하고, 안정성을 인증한다.
• 결정 변수로 제어기 이득과 리아푸노프 행렬을 포함하는 SOS 프로그램을 풀어, 리아푸노프 함수와 상태 피드백 제어기를 동시에 구성한다.
• SOSTOOLS를 활용하여 SOS 프로그램을 수치적으로 풀어 명시적인 제어기 이득과 안정성 증명을 도출한다.
• 예를 들어 제어기 이득을 고정된 차수의 결정 변수로 허용하는 등의 대안적 매개변수화를 탐색하여 계산 효율성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 시스템에서 비선형 다항식 시스템으로 직접 데이터 기반 제어를 확장할 수 있는가? 유한하고 노이즈가 있는 입력-상태 데이터만으로도 가능한가?
• RQ2 특정 통계적 형태를 가정하지 않고, 제곱형 경계만 제공될 경우 데이터의 노이즈를 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 시스템 식별 없이 데이터로부터 안정화 제어기와 해당 리아푸노프 함수를 동시에 계산할 수 있는가?
• RQ4 다양한 닫힌 루프 시스템의 매개변수화 방식 간의 계산적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ5 데이터 기반 닫힌 루프 표현의 선택이 도출된 제어기의 성능과 효율성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 사전 시스템 식별 없이도, 한정된 노이즈가 있는 입력-상태 데이터만을 사용하여 비선형 다항식 시스템에 대해 안정화되는 상태 피드백 제어기와 리아푸노프 함수를 성공적으로 계산한다.
• 정리 1을 통해 설계된 제어기는 146.6초의 계산 시간을 거쳐, 형태가 $ u = -x_1(9.2x_1^2 + 2.2x_1x_2 + x_1 + 8.1x_2^2 + 0.24x_2 + 9.7) - x_2(38x_1^2 + 6.1x_1x_2 + 5.5x_1 + 33x_2^2 + 2.3x_2 + 29) $ 인 제어기 이득을 도출한다.
• 정리 2에서 유도된 제어기는 151.3초의 계산 시간이 소요되며, 다른 형태의 이득을 도출하여 매개변수화에 민감함을 보이며, 형태는 $ u = -x_1(3.7\times10^{-4}x_1^2 + 5.1\times10^{-5}x_1x_2 - 0.021x_1 + 2.2\times10^{-4}x_2^2 - 0.092x_2 + 0.94) - x_2(-1\times10^{-4}x_1^2 - 5.3\times10^{-3}x_1x_2 - 3.1\times10^{-3}x_1 + 5.5\times10^{-4}x_2^2 - 0.064x_2 + 1.2) $ 이다.
• 가장 효율적인 설계는 고도 2의 제어기 이득을 결정 변수로 허용하는 보조정리 1을 사용하여 단지 10.7초 만에 계산이 완료되며, 형태가 $ u = -x_1(1.9\times10^{-4}x_1^2 - 8.9\times10^{-5}x_1x_2 - 0.026x_1 + 4.2\times10^{-4}x_2^2 - 0.091x_2 + 1.5) - x_2(4.8\times10^{-5}x_1^2 - 1.1\times10^{-4}x_1x_2 - 3.6\times10^{-3}x_1 - 2.4\times10^{-4}x_2^2 - 0.072x_2 + 1.4) $ 인 제어기를 도출한다.
• 위상도는 세 가지 제어기 설계 모두에서 원점에서의 전역 점근적 안정성을 확인한다. 임펄스 반응은 각각 다르게 나타난다.
• 결과는 데이터 매개변수화의 선택이 계산 효율성에 상당한 영향을 미치며, 보조정리 1이 정리 1과 2보다 상당한 속도 향상을 제공함을 드러낸다.