[논문 리뷰] Data-Driven Stabilizing and Robust Control of Discrete-Time Linear Systems with Error in Variables

Jared Miller, Tianyu Dai외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 24.

Advanced Control Systems Optimization인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 L-infinity 유계 프로세스, 측정, 입력 노이즈가 있는 이산시간 선형 시스템에 대한 데이터 기반 안정화 및 강건 H2 제어를 위한 제곱합(SOS)-기반 프레임워크를 제안한다. 가능한 모든 시스템의 일致 집합을 다항식 최적화 문제로 공식화하고, 대안의 정리(theorem of alternatives)를 적용하여 노이즈 변수를 제거함으로써, 순차적 SOS 완화를 통해 초안정, 이차 안정 또는 양의 안정 제어기를 수렴 가능하게 하며, 최악의 H2 성능 하에서도 보장된 강건성과 향상된 계산 효율성을 확보한다.

ABSTRACT

This work presents a sum-of-squares (SOS) based framework to perform data-driven stabilization and robust control tasks on discrete-time linear systems where the full-state observations are corrupted by L-infinity bounded input, measurement, and process noise (error in variable setting). Certificates of state-feedback superstability, quadratic stability or positive stability of all plants in a consistency set are provided by solving a feasibility program formed by polynomial nonnegativity constraints. Under mild compactness and data-collection assumptions, SOS tightenings in rising degree will converge to recover the true superstabilizing or positive stabilizing controller, with some conservatism introduced for quadratic stabilizability. The performance of this SOS method is improved through the application of a theorem of alternatives while retaining tightness, in which the unknown noise variables are eliminated from the consistency set description. This SOS feasibility method is extended to provide worst-case-optimal robust controllers under H2 control costs. The consistency set description may be broadened to include cases where the data and process are affected by a combination of L-infinity bounded measurement, process, and input noise.

연구 동기 및 목표

• 완전한 상태 관측이 L-infinity 유계 프로세스, 측정, 입력 노이즈에 의해 오염된 경우 이산시간 선형 시스템을 안정화하는 문제에 대응한다.
• 노이즈가 있는 데이터와 일치하는 모든 시스템을 수용하는 일치 집합 위에서 데이터 기반 제어를 다항식 최적화 문제(POL)로 공식화한다.
• 다항식 차수를 증가시킬수록 진정한 초안정 또는 양의 안정 제어기로 수렴하는 제곱합(SOS) 완화 프레임워크를 개발한다.
• 일치 집합 서술에서 알 수 없는 노이즈 변수를 제거하기 위해 대안의 정리를 적용함으로써 계산 타당성을 향상시킨다.
• 모든 일치하는 시스템에 대해 최악의 H2 노름을 최소화하는 방식으로 프레임워크를 최악의 H2 최적 강건 제어로 확장한다.

제안 방법

• 관측 데이터 $\mathcal{D} = \{\hat{u}_t, \hat{x}_t\}_{t=1}^T$ 를 사용하여 L-infinity 유계 프로세스 노이즈 $w_t$, 측정 노이즈 $\Delta x_t$, 입력 노이즈 $\Delta u_t$ 를 가진 이산시간 선형 시스템으로 시스템을 모델링한다.
• 알 수 없는 노이즈 변수를 포함하는 이중선형 부등식 시스템으로 모든 가능한 시스템 $(A,B)$ 의 일치 집합을 공식화하고, 이를 다항식 최적화 문제(POL)로 변환한다.
• 다항식 차수를 증가시킬수록 진정한 안정 제어기로 수렴하도록, 순차적 SOS 완화를 통해 다항식 최적화 문제를 충족시키기 위한 일련의 볼록 정수형 프로그래밍(SDP)으로 근사한다.
• 강건 정수형 프로그래밍 기반의 대안의 정리를 활용하여 노이즈 변수 $\Delta x_t, \Delta u_t, w_t$ 를 제약 조건에서 제거함으로써 문제의 복잡도를 감소시키면서도 초안정성과 양의 안정성에 대해 타이트함을 유지한다.
• 비음수성 조건을 만족하는 다항식을 사용하여 상태피드백 초안정성, 이차 안정성, 양의 안정성에 대한 SOS 기반 증명을 구성하며, Psatz 및 다중변수를 통해 명시적 수식을 제공한다.
• 모든 일치하는 시스템에 대해 최악의 H2 노름을 최소화하는 문제를 공식화함으로써 프레임워크를 H2-강건 제어로 확장하고, SOS 기반 SDP 완화를 통해 해결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L-infinity 유계 프로세스, 측정, 입력 노이즈 하에서 노이즈 있는 입력-상태 데이터와 일치하는 모든 시스템을 안정화할 수 있는 데이터 기반 제어기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 일치 집합 내에서 알 수 없는 노이즈 변수에 대한 이중선형 의존성을 어떻게 제거하여 계산 타당성을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 다항식 차수를 증가시킬수록 SOS 완화가 진정한 초안정 또는 양의 안정 제어기로 수렴하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 프레임워크를 최악의 성능 하에서 H2 최적 강건 제어기로 확장할 수 있는가?
• RQ5 오차-변수 존재 시나리오에서 대안의 정리를 사용할 경우, 타당성과 계산 복잡도에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 초안정성 및 양의 안정성에 대한 SOS 기반 타당성 프로그램은 다소의 컴act성 및 데이터 수집 가정 하에 다항식 차수를 증가시킬수록 진정한 안정 제어기로 수렴한다.
• 대안의 정리를 적용함으로써 알 수 없는 노이즈 변수가 일치 집합 서술에서 제거되어 계산 복잡도가 감소하지만, 초안정성과 양의 안정성에 대해 타이트함을 유지한다.
• 이차 안정성 가능성을 위해, 이론적 완화로 인해 약간의 타당성 손실이 발생하지만, 다항식 차수를 증가시킬수록 여전히 안정 제어기로 수렴한다.
• 모든 데이터 일치 시스템에 대해 최악의 H2 노름을 최소화하는 방식으로 프레임워크를 통해 최악의 H2 최적 강건 제어를 실현할 수 있으며, 결과적으로 SOS 기반 SDP 완화를 통해 제어기를 도출한다.
• 스위치 제어 시스템으로의 확장이 가능하며, 레이블링된 데이터와 노이즈 제거된 일치 집합을 활용해 단일 제어기를 사용하여 모든 하위시스템을 초안정화할 수 있다.
• 특히 대안의 정리를 사용할 경우, 다항식 제약 조건 내에서 희박한 클리크를 활용함으로써 계산 비용을 감소시킬 수 있으며, 이는 더 적고 작은 SDP 제약 조건을 초래한다.