[논문 리뷰] Data-driven system analysis of nonlinear systems using polynomial approximation

Tim Martin, Frank Allgöwer|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 25.

Control Systems and Identification인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 노이즈가 있는 측정값으로부터의 집합-소속 불확실성 경계와 함께 타일러 다항식(TP) 근사를 사용하여 비선형 시스템을 분석하기 위한 데이터 기반 프레임워크를 제안한다. 테일러 정리에 기반한 다항식 섹터 경계와 TP의 타원형 외부 근사화를 통합함으로써, 볼록한 제곱합(SOS) 최적화를 통해 엄밀한 오차 경계를 보장하면서도 소산성 및 증분 소산성을 엄밀히 검증할 수 있으며, 국소 다항식 근사를 통해 근본적인 비보수성을 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

In the context of data-driven control of nonlinear systems, many approaches lack of rigorous guarantees, call for nonconvex optimization, or require knowledge of a function basis containing the system dynamics. To tackle these drawbacks, we establish a polynomial representation of nonlinear functions based on a polynomial sector by Taylor's theorem and a set-membership for Taylor polynomials. The latter is obtained from finite noisy samples. By incorporating the measurement noise, the error of polynomial approximation, and potentially given prior knowledge on the structure of the system dynamics, we achieve computationally tractable conditions by sum of squares relaxation to verify dissipativity and incremental dissipativity of nonlinear dynamical systems with rigorous guarantees. The framework is extended by combining multiple Taylor polynomial approximations which yields a less conservative piecewise polynomial system representation. The proposed approach is applied for numerical and experimental examples. There it is compared to a least-squares-error model including knowledge from first principle.

연구 동기 및 목표

• 비선형 시스템의 데이터 기반 제어에서 엄밀한 보장을 확보하지 못하는 문제를 해결하기 위해, 비볼록 최적화나 알려지지 않은 함수 기저에 의존하는 경우를 포함하여 대응한다.
• 오직 노이즈가 있는 입력-상태-속도 데이터만을 사용하여 비선형 시스템에서 소산성 및 증분 소산성을 검증하기 위한 계산적으로 타당한 프레임워크를 개발한다.
• 다양한 국소 타일러 다항식 근사와 사전 구조 지식을 조합하여 데이터 기반 시스템 분석의 비보수성을 감소시킨다.
• 측정 노이즈와 사전 지식을 볼록 최적화 프레임워크에 통합함으로써 데이터 기반 시스템 분석의 실용적 적용을 가능하게 한다.
• 대규모 데이터셋이 필요하거나 평형점 근처에서 이웃 제거 문제가 발생하는 비모수적 방법에 대한 엄밀하고 확장 가능한 대안을 제공한다.

제안 방법

• 노이즈가 있는 데이터로부터 추정된 (k+1)차 미분계수의 경계를 활용하여, 테일러 정리와 함께 비선형 함수에 대한 다항식 섹터 경계를 유도한다.
• 노이즈가 있는 샘플의 타원형 외부 근사화를 통해 타일러 다항식 근사의 집합-소속 봉투를 구성하여 진짜 함수가 이 봉투 내부에 있음을 보장한다.
• 시스템 구조에 대한 사전 지식(예: 희박성, 대칭성, 또는 알려진 계수)을 봉투에 통합하여 비보수성을 감소시킨다.
• 상태공간 영역을 분할하여 다수의 국소 타일러 다항식 근사를 조합하여 조각다항식 표현을 형성함으로써 정확도를 향상시키고 비보수성을 감소시킨다.
• 소산성 검증 문제를 제곱합(SOS) 최적화 문제로 공식화하여, 반정규행렬 프로그래밍을 통해 볼록하고 계산적으로 타당한 해를 도출한다.
• 조각다항식 영역 전반에 걸쳐 공통 저장함수를 사용하여 전체 운영 영역에서의 전역 소산성 성질이 유지되도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오직 노이즈가 있는 측정값만을 사용하여 엄밀한 오차 경계를 확보할 수 있는 데이터 기반 비모수적 비선형 함수 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ2 데이터 기반 시스템 분석에서 단일 점 타일러 다항식 근사의 비보수성을 어떻게 줄일 수 있는가?
• RQ3 시스템 역학에 대한 사전 구조 지식이 데이터 기반 시스템 성질 검증의 정확도에 얼마나 기여할 수 있는가?
• RQ4 유한하고 노이즈가 있는 궤적 데이터만을 사용하여 소산성 및 증분 소산성을 보장된 경계로 검증할 수 있는가?
• RQ5 다수의 국소 타일러 다항식 근사를 조합할 경우, 결과로 얻는 소산성 경계의 날카움(tightness)은 어떻게 영향을 받는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 명시적인 모델 지식 없이도 오직 노이즈가 있는 입력-상태-속도 데이터만을 사용하여 비선형 시스템의 소산성 및 증분 소산성을 엄밀히 검증할 수 있다.
• 두 개의 결합된 진동자 시스템에서 L2-이득의 증분 추정치는 상수 메트릭을 사용한 다섯 번째 차수 타일러 다항식 근사를 통해 1.93로 산출되었으며, 알려진 시스템 파rameter 하에서 진짜 값과 일치하였다.
• 상태공간 영역을 분할하여 세 개의 국소 타일러 다항식 근사를 조합함으로써 비보수성이 크게 감소하였으며, 이는 단일 전역 근사보다 데이터 기반의 증분 L2-이득 추론을 향상시켰다.
• 기존 계수와 조건 c(0,0)=0 등의 사전 지식을 통합함으로써 봉투가 더욱 정밀해지고 분석 정확도가 향상되었다.
• 다양한 국소 근사를 포함한 조각다항식 표현을 사용함으로써 증분 L2-이득에 대한 상한 경계가 상당히 향상되었으며, 이는 수치적 및 실험적 예제에서 모두 입증되었다.
• 이 프레임워크는 제곱합 최적화를 통한 볼록하고 계산적으로 타당한 검증을 가능하게 하여, 데이터 기반 제어에서 흔히 사용되는 비볼록 또는 히우리스틱 접근 방식을 피할 수 있다.