[논문 리뷰] Data for "Pauli Spectrum and Non-stabilizerness of Typical Quantum Many-Body States"

Xhek Turkeshi, Piotr Sierant외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 양자 다체 상태에서의 마법(비정규화성)을 수량화하기 위해 파울리 스펙트럼을 도구로 도입한다. 헤어-무작위, 무작위 회로, 혼돈적인 해밀토니안 상태 모두가 지수적으로 감쇠된 尾를 갖는 보편적인 파울리 스펙트럼을 나타냄을 보여준다. 일반적인(고마법) 상태와 이국적인 상태를 구별하기 위해 필터링된 안정자 엔트로피를 제안하며, 이는 모든 레니 지수에서 마법이 최대화됨을 보여준다.

ABSTRACT

An important question of quantum information is to characterize genuinely quantum (beyond-Clifford) resources necessary for universal quantum computing. Here, we use the Pauli spectrum to quantify how ``magic'', beyond Clifford, typical many-qubit states are. We first present a phenomenological picture of the Pauli spectrum based on quantum typicality and then confirm it for Haar random states. We then introduce filtered stabilizer entropy, a magic measure that can resolve the difference between typical and atypical states. We proceed with the numerical study of the Pauli spectrum of states created by random circuits as well as for eigenstates of chaotic Hamiltonians. We find that in both cases Pauli spectrum approaches the one of Haar random states, up to exponentially suppressed tails. We discuss how the Pauli spectrum changes when ergodicity is broken due to disorder. Our results underscore the difference between typical and atypical states from the point of view of quantum information.

연구 동기 및 목표

• 정규화 형식 이외의 일반적인 다체 양자 상태의 비정규화성(마법)을 특성화하기 위해.
• 일반적인 고마법 상태와 제품 상태와 같은 이국적인 저마법 상태를 구별할 수 있는 측정법을 개발하기 위해.
• 양자 일반성에 기반한 파울리 스펙트럼의 현상학적 그림을 수립하기 위해.
• 헤어-무작위 상태의 정확한 결과와 무작위 회로, 혼돈적인 해밀토니안 상태의 수치 시뮬레이션을 통해 이 그림을 확인하기 위해.
• 필터링된 안정자 엔트로피를 도입하고 검증하여 일반적 상태와 이국적 상태 간의 차이를 해결하는 데에 효과적인 마법 측정법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 모든 파울리 스트링 P ∈ 𝒫_N에 대해 ⟨Ψ|P|Ψ⟩의 기대값 집합으로서 파울리 스펙트럼을 정의하며, 이를 확률 분포 Π(x)로 간주한다.
• 양자 일반성에 기반해 일반 상태에서는 P ≠ I일 때 ⟨Ψ|P|Ψ⟩ ≈ 0이며, 평균이 0이고 분산이 일정한 보편적인 분산 b를 갖는 가우시안 분포로 변동이 발생함을 주장한다.
• 헤어-무작위 상태에 대한 정확한 파울리 스펙트럼을 유도하며, 대규모 N 근처에서 반원형 분포로 수렴함을 보여준다.
• 정규화된 엔트로피의 수정된 레니 엔트로피인 필터링된 안정자 엔트로피 M̃_q를 도입하여 항등원의 기여를 제외함으로써 비정규화 성분에 대한 민감도를 향상시킨다.
• 무작위 회로 상태와 혼돈적인 스핀 사슬의 중간 스펙트럼 고유상태에 대해 광범위한 수치 시뮬레이션을 수행하여 이론적 예측과 비교한다.
• 몬테카를로 샘플링을 사용해 안정자 레니 엔트로피를 계산하고 유한 체계에서 파울리 스펙트럼의 행동을 검증한다.

Figure 1: (a) Pauli spectrum for the atypical state $|\Theta\rangle$ (where we fix $\theta=2\arctan(\sqrt{2-\sqrt{3}})$ and $\phi=2\arctan(1-\sqrt{2})$ ), a typical (Haar random) state $|\Psi_{\mathrm{Haar}}\rangle$ , and for a stabilizer state $|\Psi_{\mathrm{Stab}}\rangle$ generated by a random Cl

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 양자 다체 상태의 파울리 스펙트럼은 어떻게 행동하는가? 그리고 양자 일반성으로 설명될 수 있는가?
• RQ2 무작위 회로 상태와 혼돈적인 해밀토니안의 고유상태는 파울리 스펙트럼에서 헤어-무작위 상태와 어느 정도 유사한가?
• RQ3 필터링된 안정자 엔트로피는 일반 상태와 제품 상태와 같은 이국적 상태를 효과적으로 구별할 수 있는가?
• RQ4 파울리 스펙트럼의 구조적 차이는 시스템의 동역학 또는 보존성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 파울리 스펙트럼은 양자 다체 시스템에서의 에르고딕성과 마법과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 헤어-무작위 상태의 파울리 스펙트럼은 반원형 분포를 따르며, q > 2일 경우 항등원이 안정자 레니 엔트로피의 주요 기여를 차지한다.
• 일반 상태에서는 필터링된 안정자 엔트로피 M̃_q가 모든 레니 지수 q에서 최댓값 1을 기록하여 최대 마법을 나타낸다.
• 무작위 회로 상태와 혼돈적인 해밀토니안의 중간 스펙트럼 고유상태는 지수적으로 감쇠된 尾를 제외하고는 헤어-무작위 상태와 구분되지 않는다.
• 혼돈적인 해밀토니안 고유상태의 파울리 스펙트럼은 헤어-무작위 상태에는 존재하지 않는 지수적으로 작은 꼬리가 있으며, 해밀토니안으로부터 유래한 더 풍부한 구조를 드러낸다.
• 필터링된 안정자 엔트로피는 일반 상태와 제품 상태와 같은 이국적 상태 간의 차이를 효과적으로 해결하며, 이는 마법 수준이 상당히 낮음을 보여준다.
• 안정자 레니 엔트로피만으로는 파악하기 어려운 비가우시안 특성까지 포괄하므로, 파울리 스펙트럼은 안정자 엔트로피보다 더 정교한 마법 특성화를 제공한다.

Figure 2: Pauli spectra of typical states (red dashed lines, Eq. ( 4 ) and ( 5 )) and the numerical results for: random unitary circuits (a), random orthogonal circuits (b), mid-spectrum eigenstates of chaotic Hamiltonian $H^{\mathrm{sb}}$ without TRI, (c), and with TRI $H$ , (d), see Text. Only the