[논문 리뷰] Data-free Non-intrusive Model Reduction for Nonlinear Finite Element Models via Spectral Submanifolds

Shobhit Jain, Mingwu Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2024. 09. 16.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 11

한 줄 요약

비간섭(non-intrusive) 알고리즘으로 비선형 FE 시스템의 스펙트럼 서브매니폴드(SSM) 및 차수 축소 모델을 최대 3차까지 계산하며, 일반 FE 소프트웨어와 데이터 없는(STEP 기반) 구현과 호환됩니다.

ABSTRACT

The theory of spectral submanifolds (SSMs) has emerged as a powerful tool for constructing rigorous, low-dimensional reduced-order models (ROMs) of high-dimensional nonlinear mechanical systems. A direct computation of SSMs requires explicit knowledge of nonlinear coefficients in the equations of motion, which limits their applicability to generic finite-element (FE) solvers. Here, we propose a non-intrusive algorithm for the computation of the SSMs and the associated ROMs up to arbitrary polynomial orders. This non-intrusive algorithm only requires system nonlinearity as a black box and hence, enables SSM-based model reduction via generic finite-element software. Our expressions and algorithms are valid for systems with up to cubic-order nonlinearities, including velocity-dependent nonlinear terms, asymmetric damping, and stiffness matrices, and hence work for a large class of mechanics problems. We demonstrate the effectiveness of the proposed non-intrusive approach over a variety of FE examples of increasing complexity, including a micro-resonator FE model containing more than a million degrees of freedom.

연구 동기 및 목표

• 고차원 FE 모델에 대한 스펙트럼 서브매니폴드(SSM)를 통한 엄밀한 비선형 ROM의 동기 부여 및 구현 가능성 확보.
• 블랙박스 비선형성을 이용하여 SSM과 축소 동역학을 계산하는 비간섭 알고리즘 개발.
• 속도 의존 항 및 비대칭 감쇠/강성까지 포함한 3차 차수 비선형성을 적용하도록 SSM 기반 차감 확장.
• 매우 큰 FE 모델에 대한 적용 가능성과 일반적 FE 소프트웨어(상용 패키지 포함)와의 호환성 시연.
• 오픈 소스 구현(SSMTool) 제공 및 다양한 FE 예제로 검증

제안 방법

• 선택된 선형 모드의 마스터 부분공간에 접하는 SSM을 구성하기 위해 매개화(parametrization) 방법을 사용한다.
• SSMs 및 축소 동역학을 다항식 확장으로 표현하고 불변성 방정식을 풀이한다.
• 비선형성을 2차 및 3차 부분으로 분리하고 STEP를 통해 SSM과의 비간섭적 합성을 계산한다.
• 근고조화를 다루기 위해 축소 동역학 방정식(노멀 폼 스타일)을 통해 특이점을 상승시킨다.
• 시간 주기적 포싱에 대한 비자율 보정을 도출하고 TI(시정 의존 없는) 및 TV(시정 의존 있는) SSM 근사를 제공한다.
• SSMTool에서 접근법을 구현하고 블랙박스 F(z) 평가를 사용하여 일반 FE 해석기와 결합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 비선형 FE 시스템에 대해 SSM 기반 축소 모델을 비간섭적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 내부 FE 계수에 접근하지 않고도 다항 비선형성(최대 3차)을 SSM 매개화와 어떻게 결합할 수 있는가?
• RQ3 복잡한 FE 모델에 대해 비간섭 SSM ROM의 정확도와 계산 효율성은 침투적 접근법과 비교하여 어떤가?
• RQ4 속도 의존 비선형성과 비대칭 감쇠/강성이 비간섭 SSM 기반 축소에 얼마나 잘 수용될 수 있는가?
• RQ5 대규모 FE 모델 및 상용 FE 소프트웨어에서 이 방법론의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 비간섭 알고리즘은 3차 비선형성을 갖는 FE 모델에 대해 임의의 다항 차수의 SSM 및 ROM을 계산한다.
• 이 방법은 속도 의존 비선형성 및 비대칭 감쇠 및 강성 행렬을 수용한다.
• 일반 FE 소프트웨어( COMSOL 포함)와의 결합이 가능하여 데이터 프리 SSM 기반 축소를 가능하게 한다.
• 시연에는 내부 공진 1:2를 가진 얕은 쉘, 항공기 날개 모델, 점탄성 plate, MEMS 자이로스코프 FE 모델이 포함된다.
• 얕은 아크 예에서 TI-SSM 및 TV-SSM이 일치하고 침투적 대 비간섭 FRC는 O(5) 정확도에서 일치하며 비간섭 메모리 사용량이 크게 낮다(8 MB 대 35 MB).
• 이 방법은 오픈 소스 SSMTool에 구현되어 있으며 백만 개가 넘는 자유도(DOF)를 포함한 점점 더 복잡한 FE 문제로 검증되었다.