[논문 리뷰] Davenport-Heilbronn Theorems for Quotients of Class Groups

Zev Klagsbrun|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 11.

Finite Group Theory Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된 유리수 소수 집합 $S$ 위의 소수에 의해 생성되는 부분군에 모odulo한 이차체의 이상환 군의 몫에 대한 Davenport-Heilbronn 정리를 일반화한다. $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기, 이완된 3-Selmer 군 $\mathrm{Sel}_3^S(K)$, 그리고 단위군 몫 $\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$의 평균 크기를, 판별식에 따라 순서를 매긴 이차체 $K$에 대해 계산하기 위해, 이중체의 차수 3인 부분군과 같은 판별식을 가진 이중체 사이의 전단사 관계와 최근의 국소 조건을 만족하는 이중체에 대한 세기 결과를 활용한다. 주요 결과는 $S$-소수가 완전히 분해될 조건에서 이러한 평균 크기가 Cohen–Lenstra 히وري스틱과 일치함을 보여준다.

ABSTRACT

We prove a generalization of the Davenport-Heilbronn theorem to quotients of ideal class groups of quadratic fields by the primes lying above a fixed set of rational primes $S$. Additionally, we obtain average sizes for the relaxed Selmer group $\mathrm{Sel}_3^S(K)$ and for $\mathcal{O}_{K,S}^ imes/(\mathcal{O}_{K,S}^ imes)^3$ as $K$ varies among quadratic fields with a fixed signature ordered by discriminant.

연구 동기 및 목표

• 고정된 유리수 소수의 유한 집합 $S$에 대해, 이차체의 이상환 군을 $S$ 위의 소수들에 의해 생성되는 부분군에 모odulo한 경우에 Davenport-Heilbronn 정리를 확장한다.
• 모든 $S$-소수가 완전히 분해되는 경우와 일반적인 경우에 대해, 허수 이차체와 실수 이차체에 대해 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기를 계산한다.
• 판별식에 따라 순서를 매긴 이차체 $K$가 변할 때, 이완된 3-Selmer 군 $\mathrm{Sel}_3^S(K)$와 단위군 몫 $\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$의 평균 크기를 결정한다.
• 적절한 분해 조건 하에서 이러한 평균 불변량들이 Cohen–Lenstra 히وري스틱과 일치하는가를 검증한다.

제안 방법

• $\mathrm{Cl}(K)_S$의 지수 3 부분군과 $K$와 같은 판별식을 가진 이중체의 동형류 사이의 전단사 관계를 수립한다.
• Bhargava, Shankar, Tsimerman(및 Taniguchi–Thorne)의 최근 결과를 활용하여 $S$의 소수에서 국소 조건을 만족하는 이중체를 세는 데 사용한다.
• 수학적 기하학과 이상환 군 세기 기법을 적용하여 이러한 이중체의 수를 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기와 연결한다.
• $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$와 관련된 짧은 정확한 수열을 통해 $\mathrm{Sel}_3^S(K)$와 $\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$의 평균 크기를 유도한다.
• $S$의 소수들의 분해 행동을 고려하기 위해 이차체를 부분집합 $S_1 \subset S$ 가 분해되고 나머지 소수들은 그렇지 않은 경우로 분할하고, 가중 평균을 계산한다.
• 임의의 이차체가 $S_1$ 과 $S \setminus S_1$ 에 대해 주어진 분해 행동을 갖는 확률 $\rho(S_1)$ 을 사용하고, 소수의 분해에 대한 알려진 밀도 결과와 결합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $S$-소수가 완전히 분해되는 조건에서, 허수 이차체에 대해 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기는 얼마인가요?
• RQ2 모든 $S$-소수가 완전히 분해되는 조건에서, 실수 이차체에 대해 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기는 어떻게 변화합니까?
• RQ3 판별식에 따라 순서를 매긴 모든 이차체에 대해, 이완된 3-Selmer 군 $\mathrm{Sel}_3^S(K)$와 단위군 몫 $\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$의 평균 크기는 얼마입니까?
• RQ4 모든 $S$-소수가 완전히 분해되는 조건에서, 이러한 평균 크기는 Cohen–Lenstra 히وري스틱과 일치합니까?
• RQ5 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기는 $S$의 소수들의 분해 행동에 따라 어떻게 달라지나요?

주요 결과

• 모든 $S$-소수가 완전히 분해되는 조건에서, 허수 이차체에 대해 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기는 $1 + 3^{-|S|}$ 이다.
• 모든 $S$-소수가 완전히 분해되는 조건에서, 실수 이차체에 대해 $\mathrm{Cl}(K)_S[3]$의 평균 크기는 $1 + 3^{-|S|-1}$ 이다.
• 실수 이차체에 대해 $\mathrm{Sel}_3^S(K)$의 평균 크기는 $3^{|S|} + 3^{|S|+1} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ 이다.
• 허수 이차체에 대해 $\mathrm{Sel}_3^S(K)$의 평균 크기는 $3^{|S|} + 3^{|S|} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ 이다.
• 실수 이차체에 대해 $\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$의 평균 크기는 $3^{|S|+1} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ 이다.
• 허수 이차체에 대해 $\mathcal{O}_{K,S}^\times / (\mathcal{O}_{K,S}^\times)^3$의 평균 크기는 $3^{|S|} \prod_{p \in S} \left(1 + \frac{p}{p+1}\right)$ 이다.