[논문 리뷰] David Hilbert and the origin of the "Schwarzschild solution"

S. Antoci|ArXiv.org|2003. 10. 21.

Geophysics and Sensor Technology참고 문헌 1인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론에서 '슈바르츠실트 해'의 역사적 및 수학적 기원을 조사하며, 데이비드 힐베르트가 칼 슈바르츠실트의 원래 해와 다른 시공간 다양체를 유도했다는 점을 드러낸다. 힐베르트의 해는 널리 보편화되었지만, 일관된 시간의 화살표가 없고 국소적 내재 특이점이 있다는 두 가지 핵심 결함을 지닌다. 이는 슈바르츠실트의 원래 해에는 존재하지 않으며, 그로 인해 원래 해는 물리적으로 더 일관성이 있지만 힐베르트의 해가 널리 채택되면서 거의 무시당했다.

ABSTRACT

The very early dismissal of Schwarzschild's original solution and manifold, and the rise, under Schwarzschild's name, of the inequivalent solution and manifold found instead by Hilbert, are scrutinised and commented upon, in the light of the subsequent occurrences. It is reminded that Hilbert's manifold suffers from two defects, that are absent in Schwarzschild's manifold. It does not admit a consistent drawing of the arrow of time, and it allows for an invariant, local, intrinsic singularity in its interior. The former defect is remedied by the change of topology of the extensions proposed by Synge, Kruskal and Szekeres. The latter persists unaffected in the extensions, since it is of local character.

연구 동기 및 목표

• 힐베르트의 시공간 다양체가 슈바르츠실트의 원래 해가 아니라 '슈바르츠실트 해'로 알려지게 된 역사적 및 수학적 이유를 명확히 하기.
• 에인슈타인의 이른바 1915년 11월 11일 버전의 장 방정식(일반화된 코어라비티를 갖는)을 바탕으로 유도된 슈바르츠실트의 원래 해가 두 개의 적분상수를 포함하며, 내부 경계를 고정하기 위해 추가의 가정이 필요하다는 것을 보여주기.
• 힐베르트의 해는 수학적으로 형태상 동일하지만, 제거할 수 없는 국소적 내재 특이점과 일관된 시간의 화살표가 없는 점으로 인해 물리적으로 결함이 있음을 보여주기.
• 힐베르트의 다양체가 결함이 있음에도 불구하고 널리 보급된 것은, 특히 필리프 프랭크의 영향력 있는 그러나 불완전한 리뷰로 인해 슈바르츠실트의 작업이 조기에 무시당했기 때문에 가속화되었다는 주장을 펼치기.

제안 방법

• 1916년의 'Massenpunkt' 논문을 분석하여, 에인슈타인의 1915년 11월 11일 버전의 장 방정식을 사용한 슈바르츠실트의 접근 방식을 집중적으로 분석하며, 이는 일반화된 변환에 국한된 공변성으로 제한된다.
• 좌표 변환 $x_1 = r^3/3$, $x_2 = -\cos\vartheta$, $x_3 = \varphi$ 를 통해 슈바르츠실트의 해를 유도하며, 이를 통해 메트릭이 함수 $M(r)$ 과 $W(r)$ 로 표현되며, 간격 (45)에 도달한다.
• 슈바르츠실트의 해가 두 개의 적분상수를 포함함을 확인한다: 질량에 대한 것($\alpha$)과 내부 경계에 대한 것인데, 이는 특이점이 $r = \alpha$ 에 위치하도록 하기 위해 연속성 가정을 통해 고정된다.
• 슈바르츠실트의 해와 힐베르트의 해를 비교하며, 힐베르트의 유도가 다른 변분 원리와 좌표계를 사용하여, 제거할 수 없는 국소적 내재 특이점이 있는 다양체를 유도한다는 점을 밝힌다.
• 힐베르트의 다양체의 기하학적 및 물리적 결함을 분석한다: 일관된 시간의 화살표가 없고, 크루스칼-제커레스 확장조차도 지속되는 국소적 특이점이 존재한다.
• 스칼라 곡률 $K$ 와 작용 적분 $\int K\sqrt{g}\,dr\,d\vartheta\,d\varphi\,dl$ 의 변형을 통해 라그랑주 방정식 $m' = 0$, $w' = 0$ 을 유도하며, 주어진 조건 하에서 일반 해가 성립함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 힐베르트의 슈바르츠실트 해가 슈바르츠실트의 원래 해가 아니라 일반 상대성 이론 교과서와 연구에서 표준이 되었는가?
• RQ2 힐베르트의 다양체에 존재하지만 슈바르츠실트의 원래 해에는 없는 물리적 및 기하학적 결함은 무엇인가?
• RQ3 필리프 프랭크의 슈바르츠실트 논문 초도 리뷰가 힐베르트에게 잘못 기인된 해의 역사적 오류를 어떻게 초래했는가?
• RQ4 두 개의 적분상수를 포함하고 추가 가정이 필요함에도 불구하고, 더 물리적으로 일관성이 있는 슈바르츠실트의 원래 해가 왜 무시당했는가?
• RQ5 크루스칼-제커레스 확장이 힐베르트 다양체의 물리적 결함, 특히 내재 특이점 문제를 어느 정도 해결하는가?

주요 결과

• 에인슈타인의 1915년 11월 11일 버전의 장 방정식(일반화된 공변성)을 바탕으로 유도된 슈바르츠실트의 원래 해는 두 개의 적분상수를 포함한다: 질량에 대한 것과 내부 경계에 대한 것인데, 이는 연속성 가정을 통해 특이점이 $r = \alpha$ 에 위치하도록 고정된다.
• 힐베르트의 해는 다른 변분 원리를 통해 유도되었으며, 슈바르츠실트의 해와 동치가 아닌 다양체를 나타내며, 두 가지 핵심 결함을 야기한다: 일관된 시간의 화살표를 수용하지 못하고, 국소적 내재 특이점이 존재한다.
• 힐베르트 다양체의 국소적 내재 특이점은 크루스칼-제커레스 확장조차도 제거되지 않으며, 이는 국소적 성격을 지닌다. 좌표의 문제로 인한 것이 아니라 본질적인 특이점이다.
• 표준 '슈바르츠실트' 메트릭 (1) $ds^2 = (1 - 2m/r)dt^2 - (1 - 2m/r)^{-1}dr^2 - r^2(d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d\phi^2)$ 는 슈바르츠실트의 원래 해와 동치가 아니며, 특이점이 $r = \alpha$ 에 있고 $r > \alpha$ 에서만 정칙하다.
• 힐베르트의 다양체가 물리적 결함이 있음에도 불구하고 널리 보급된 것은, 필리프 프랭크의 슈바르츠실트 논문에 대한 불완전한 리뷰로 인해, 좌표 변환과 사용된 장 방정식의 형태에 대한 핵심 정보가 생략되었기 때문이다.
• 논문은 슈바르츠실트의 원래 해가 더 물리적으로 일관성 있으며, 제거할 수 없는 국소적 특이점과 일관된 시간의 화살표를 허용하지만, 역사적 및 편집적 요인으로 인해 힐베르트의 해에 가려져 있다는 결론을 내린다.