[논문 리뷰] David maps and Hausdorff Dimension

Saeed Zakeri|ArXiv.org|2002. 12. 07.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 무한 비율 확장이 제어된 다수의 맵—등각 맵의 일반화인 다비드 맵의 하우스도르프 차원에 대한 왜곡을 조사한다. 임의의 α, β ∈ [0,2]에 대해, 차원 α를 가진 컴팩트 집합을 차원 β로 매핑하는 다비드 맵이 존재함을 증명하며, 전체 차원 2를 가진 조르당 곡선을 구성함으로써, 이러한 곡선이 매우 불규칙할 수 있음에도 불구하고 등각 제거 가능할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

David maps are generalizations of classical planar quasiconformal maps for which the dilatation is allowed to tend to infinity in a controlled fashion. In this note we examine how these maps distort Hausdorff dimension. We show \vs {enumerate} [$\bullet$] Given $α$ and $β$ in $[0,2]$, there exists a David map $ϕ:\CC o \CC$ and a compact set $Λ$ such that $\Hdim Λ=α$ and $\Hdim ϕ(Λ)=β$. \vs [$\bullet$] There exists a David map $ϕ:\CC o \CC$ such that the Jordan curve $Γ=ϕ(\Sen)$ satisfies $\Hdim Γ=2$.\vs {enumerate} One should contrast the first statement with the fact that quasiconformal maps preserve sets of Hausdorff dimension 0 and 2. The second statement provides an example of a Jordan curve with Hausdorff dimension 2 which is (quasi)conformally removable.

연구 동기 및 목표

• 제어된 무한 비율 확장이 있는 호메오모르피즘의 일종인 다비드 맵이 컴팩트 집합의 하우스도르프 차원에 미치는 영향을 연구하기 위해.
• 다비드 맵이 임의의 차원 α ∈ [0,2]를 가진 집합을 임의의 차원 β ∈ [0,2]를 가진 이미지로 매핑할 수 있는지 확인하기 위해.
• 하우스도르프 차원 2를 가진 조르당 곡선이 등각 제거 가능할 수 있는지 여부를 조사하기 위해.
• 등각 제거 이론을 등각 변형 맵을 넘어서 확장하기 위해, 극도로 복잡한 기하학적 성질을 가진 예제를 구성함으로써.

제안 방법

• 최대 비율 확장 Kₙ ≍ √n인 등각 맵 φₙ의 수열을 구성하여, 칸토어 유사 집합 Σₙ을 특정 차원을 가진 집합 Λ로 매핑하기 위해.
• Σₙ에서의 면적 추정을 사용하여, K_φ > K 인 집합에서 지수 감쇠 조건을 확인함으로써, 극한 맵 φ = lim φₙ이 다비드 맵임을 증명하기 위해.
• 다비드 맵에 대한 투키아의 컴actness 정리를 적용하여, 극한 맵 φ가 잘 정의된 다비드 호메오모르피즘임을 보장하기 위해.
• 해석적 리만 맵 정리와 다비드의 벨트라미 방정식 해법 결과를 적용하여, |μ| > 1−ε를 만족하는 μ에 대해 지수 감쇠 조건이 성립함을 이용하기 위해.
• 만약 호메오모르피즘 f가 곡선 Γ = φ(𝕊¹)를 제외한 영역에서 등각이라면, f∘φ는 다비드 맵이 되며, 이는 f가 전 영역에서 등각임을 의미함을 증명하기 위해.
• f∘φ가 𝔻 및 ℂ∖𝔻̄에서 모두 다비드 맵임을 증명한 후, 보조정리를 적용하여 f가 ℂ에서 등각임을 결론내리기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다비드 맵은 하우스도르프 차원 α를 가진 컴팩트 집합을 임의의 α, β ∈ [0,2]에 대해 차원 β를 가진 집합으로 매핑할 수 있는가?
• RQ2 하우스도르프 차원 2를 가진 조르당 곡선을 구성하는 것은 가능한가?
• RQ3 다비드 맵에 의한 이미지에 대해 곡선의 등각 제거 성질이 유지되는가?
• RQ4 다비드 맵의 자코비안과 헬더 연속성의 행동은 등각 변형 맵과 어떻게 다를까?
• RQ5 다비드 맵에 의해 단위 원을 이미지로 얻는 곡선의 제거 성질이 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 α, β ∈ [0,2]에 대해, ℂ → ℂ인 다비드 맵 φ와 컴팩트 집합 Λ가 존재하여 dim_H(Λ) = α 이고 dim_H(φ(Λ)) = β 임을 보였다.
• 다비드 맵 φ가 존재하여, 그 이미지 Γ = φ(𝕊¹)가 하우스도르프 차원 2인 조르당 곡선임을 보였다.
• 차원 2인 이와 같은 조르당 곡선은 등각 제거 가능하며, 이는 제거 가능성이 유한 길이나 차원 < 2 가 필요하지 않음을 보여준다.
• 다비드 맵는 하우스도르프 차원을 등각 변형 맵과 달리 임의로 왜곡할 수 있으나, 등각 변형 맵는 차원 0과 2를 가진 집합을 유지한다.
• 다비드 맵의 역함수는 다비드 맵일 필요가 없으며, 다비드 맵이 국소적으로 헬더 연속이거나 L^p_loc에 속하는 자코비안을 가져야 하는 것도 아니다.
• f가 φ(𝕊¹)를 제외한 영역에서 등각이라면 f∘φ는 다비드 맵이며, 다비드 정리의 유일성에 의해 f는 전 영역에서 등각임을 증명함으로써, 이미지 곡선의 등각 제거 성질을 입증하였다.