[논문 리뷰] De Finettian Logics of Indicative Conditionals

Paul Égré, Lorenzo Rossi외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 29.

Advanced Algebra and Logic인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 조건문의 참값 표를 데 피네티의 '결함 있는' 참값 표에 기반한 삼치값 논리 체계를 개발한다. 여기서 조건문은 전건이 거짓일 경우 부정확하다. 이는 유효성, 모드 폈논텐스, 그리고 연결성 원칙을 균형 있게 유지하는 두 가지 변형—DF/TT 및 CC/TT—을 제안하며, 비이원적 프레임워크 내에서 참값 조건과 주장 가능성 사이의 원칙적인 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

This paper explores trivalent truth conditions for indicative conditionals, examining the "defective" table put forward by de Finetti 1936, as well as Reichenbach 1944, first sketched in Reichenbach 1935. On their approach, a conditional takes the value of its consequent whenever its antecedent is True, and the value Indeterminate otherwise. Here we deal with the problem of choosing an adequate notion of validity for this conditional. We show that all standard trivalent schemes are problematic, and highlight two ways out of the predicament: one pairs de Finetti's conditional (DF) with validity as the preservation of non-False values (TT-validity), but at the expense of Modus Ponens; the other modifies de Finetti's table to restore Modus Ponens. In Part I of this paper, we present both alternatives, with specific attention to a variant of de Finetti's table (CC) proposed by Cooper 1968 and Cantwell 2008. In Part II, we give an in-depth treatment of the proof theory of the resulting logics, DF/TT and CC/TT: both are connexive logics, but with significantly different algebraic properties.

연구 동기 및 목표

• 의지적 조건문을 위한 삼치값 논리에서 유효 추론을 정의하는 데 도전하는 문제를 다루기 위해.
• 참값 기반 의미론과 조건문의 주장 가능성 및 추론 역할을 조율하기 위해.
• 모드 폈논텐스를 유지하면서도 유효성에서 거짓 이외의 값의 유지 보존을 고려한 상호 보완적 고려 사항을 평가하기 위해.
• 물리적 조건문의 함정을 피하면서도 확률적 주장 가능성과 참값 조건을 연결하는 의미론을 개발하기 위해.

제안 방법

• 데 피네티의 '결함 있는' 참값 표에 기반한 삼치값 의미론을 제안하며, 조건문에 대해 1(참), 1/2(부정확), 0(거짓)의 값을 할당한다.
• 두 가지 논리 체계를 도입한다: DF/TT(데 피네티 조건문에 TT-유효성 적용) 및 CC/TT(쿠퍼와 캔틀웰이 수정한 표에 TT-유효성 적용).
• TT-유효성(비거짓 값(1 또는 1/2)의 유지 보존)을 정의하여 삼치값 프레임워크 내에서 논리적 함의를 평가한다.
• 연결성 성질과 대수적 구조를 분석하여, 두 체계 모두 연결성 논리를 만족하지만 대수적 행동에서 차이가 있음을 보여준다.
• 논리 기호의 행동, 특히 부정과 논리합을 포함한 연결기의 행동을 평가하기 위해 증명 이론적 및 대수적 방법을 사용한다.
• 이중 조건문, 물리적 조건문의 역설, 부정과 조건문의 교환 법칙 등 주요 원칙에 대해 두 체계를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 의지적 조건문을 위한 삼치값 논리에서 유효성은 어떻게 의미적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 삼치값 논리가 모드 폈논텐스를 유지하면서도 원칙적인 유효성 개념을 유지할 수 있는가?
• RQ3 데 피네티의 조건문과 쿠퍼-캔틀웰 변형 간의 대수적 및 증명 이론적 차이는 무엇인가?
• RQ4 이 논리들은 확률적 주장 가능성과 조건문의 조건부 해석과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 부정 및 논리합과 같은 다른 연결기와 함께 삼치값 조건문을 결합할 때 발생하는 상호 보완적 고려 사항은 무엇인가?

주요 결과

• DF/TT는 추론 과정에서 비거짓 값을 유지하지만, 모드 폈논텐스를 유효화하지 못하여 추론적 강도 측면에서 핵심적 한계를 드러낸다.
• CC/TT 논리는 데 피네티의 참값 표를 수정함으로써 모드 폈논텐스를 복원하지만, 이는 부정확성의 의미론적 처리 방식을 변화시키는 비용을 수반한다.
• DF/TT와 CC/TT 모두 연결성 논리로서 아리스토텔레스의 논리와 보에티우스의 논리를 포함한 원칙을 유효화하며, 직관적 조건문 추론과의 강력한 연결 고리를 보여준다.
• 두 체계 모두 임포트-아웃포트 원칙을 유지하고 물리적 조건문의 역설을 피함으로써, 고전적 물리적 조건문에 대한 타당한 대안임을 뒷받침한다.
• 쿠퍼의 연결기에서는 대수적 과제가 발생하며, 특히 격자 기반 표현에서 표준 최대/최소 해석이 준논리합과 준논리곱에 대해 실패함을 보여준다.
• 논문은 제퍼리 스타일 조건문과 비-K3 부정의 조합에서 발생하는 구조적 상호 보완적 고려 사항을 규명하며, 이러한 논리가 더 풍부한 연결기 체계로 확장될 수 있는 데에 제한이 있음을 시사한다.