[논문 리뷰] De seriebus divergentibus

Leonhard Euler, Artur Diener외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 07.

History and Theory of Mathematics인용 수 51

한 줄 요약

18세기 초의 이론적 논문으로, 레온하르트 오일러는 발산 급수의 합을 분석하며, 1 - 1 + 1 - 1 + ... 및 1 - 2 + 3 - 4 + ...와 같은 특정 발산 급수는 해석적 계속 및 연속 분수 표현을 통해 유한하고 의미 있는 값을 부여할 수 있다고 제안한다. 오일러는 이러한 값들이 고전적 의미에서 수렴하지는 않지만, 대수적 조작, 급수 전개 및 연속 분수를 통해 일관되게 유도될 수 있음을 보여주며, 발산 급수에 합을 할당하는 데 있어 기초적인 접근법을 수립한다.

ABSTRACT

Euler gives a long introduction, giving all the arguments for and against the use of divergent series in calculus and then gives his own definition of the sum of a diverging series. Then in the second half of this paper he evaluates the the 1-1+2-6+24-120+720-... on several ways and gets the sum 0.5963473621372. The paper is translated from Euler's Latin original into German.

연구 동기 및 목표

• 발산 급수가 유한하고 의미 있는 합을 가질 수 있는지에 대한 오랫동안 지속된 수학적 논란을 해결하기 위해.
• 특히 진동하거나 무 bound하게 증가하는 급수와 같은 발산 급수에 대해 합을 할당하는 데에 엄밀한 정당성을 제공하기 위해.
• 대수적 조작, 급수 전개 및 연속 분수를 통해 발산 급수를 체계적으로 분석할 수 있음을 보여주기 위해.
• 성장 속도가 빠른 항을 가진 발산 급수도 생성 함수의 형식적 조작을 통해 유한한 값을 연결할 수 있음을 보여주기 위해.
• 기본적으로 발산하는 급수에 대해 일관된 값을 도출할 수 있는 등가 수렴 표현(예: 연속 분수)을 수립하기 위해.

제안 방법

• 지수 급수 전개 $ \frac{1}{1+a} = 1 - a + a^2 - a^3 + \cdots $ 를 사용하여 $ a = 1 $ 을 대입함으로써 발산 급수 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ 를 분석하고, 합을 $ \frac{1}{2} $ 로 도출한다.
• 대칭 부분 합 개념을 적용: 짝수 개의 항일 경우 합은 0, 홀수 개일 경우 1이 되며, 따라서 평균값 $ \frac{1}{2} $ 를 합으로 취한다.
• 연속 분수를 발산 급수의 수렴 표현으로 도입하며, 예를 들어 $ z = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ 는 유한한 값을 수렴한다.
• 미분방정식 $ x^m dx = x^{q+1} dz + (p-m)x^q z dx + z dx $ 를 유도하며, 그 해는 무한 급수와 연속 분수로 모두 표현된다.
• 해를 단순화하기 위해 $ b=1, f=1, m+a=p, m-n=q $ 를 설정하여 표준 형식으로 변환하고, 해를 $ z = x^m - p x^{m+q} + p(p+q)x^{m+2q} - \cdots $ 로 표현한다.
• 지수 적분을 포함한 적분 표현을 사용하여, 예를 들어 $ z = e^{1/(2x^2)} x^{-1} \int e^{-1/(2x^2)} dx $ 와 같이 수렴하는 적분으로 발산 급수의 해를 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots 와 같은 발산 급수에 대해 유한한 합을 할당할 수 있으며, 그 정당성은 무엇인가?
• RQ2 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots 와 같은 그란디 급수에 대해 값 $ \frac{1}{2} $ 를 할당하는 수학적 근거는 무엇인가, 비록 진동 행동을 보일지라도?
• RQ3 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots 와 같이 항이 무 bound하게 증가하는 발산 급수도 생성 함수의 형식적 조작을 통해 유한한 값을 할당할 수 있는가?
• RQ4 발산 급수를 수렴하는 연속 분수 또는 적분 형태로 일관되게 표현할 수 있는 방법이 존재하는가?
• RQ5 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots 와 같은 발산 급수를 분석적 기법을 통해 체계적으로 분석하고, 유한한 값을 할당할 수 있는가?

주요 결과

• 발산 급수 $ 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots $ 는 대칭 부분 합과 기하급수의 해석적 계속을 바탕으로 $ \frac{1}{2} $ 로 합이 할당된다.
• 급수 $ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots $ 는 연속 분수 $ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ 를 통해 수렴하며, 약 $ 0.65568 $ 의 값을 도출한다.
• 급수 $ z = x - x^3 + 3x^5 - 15x^7 + \cdots $ 에 대해 $ x = 1 $ 일 경우 값은 약 $ 0.65568 $ 으로, 연속 분수 $ \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cdots}}} $ 에서 유도된다.
• 연속 분수 표현 $ z = \cfrac{x^m}{1 + \cfrac{p x^q}{1 + \cfrac{q x^q}{1 + \cdots}}} $ 는 발산 급수 $ z = x^m - p x^{m+q} + p(p+q)x^{m+2q} - \cdots $ 와 등가인 수렴 표현을 제공한다.
• 미분방정식 $ x^m dx = x^{q+1} dz + (p-m)x^q z dx + z dx $ 는 발산 급수와 수렴 연속 분수로 모두 표현되는 해를 제공하며, 일관성을 보여준다.
• 특히 $ m=1, p=1, q=2 $ 일 경우, 해 $ z = x - x^3 + 3x^5 - 15x^7 + \cdots $ 가 $ x=1 $ 에서 $ z \approx 0.65568 $ 로 도출되며, 연속 분수의 연속적인 유리수 근사값으로 확인된다.