[논문 리뷰] Deation and Flexible SAP-Preconditioning of GMRES in Lattice QCD Simulation

Andreas Frommer, Andrea Nobile외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 24.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 라티스 QCD 시뮬레이션에서 발생하는 불량조건 선형계를 해결하기 위해 탈착 및 곱셉 색실 프리컨dition링(SAP)을 갖춘 유연한 GMRES-DR 방법을 제안한다. 재시작 동안 정보를 유지함으로써 표준 재시작 GMRES가 실패하는 경우에도 수렴을 달성하며, 병렬 아키텍처에서 윌슨-디랙 연산자 역행렬 계산의 강건성을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

The simulation of lattice QCD on massively parallel computers stimulated the development of scalable algorithms for the solution of sparse linear systems. We tackle the problem of the Wilson-Dirac operator inversion by combining a Schwarz alternating procedure (SAP) in multiplicative form with a exible variant of the GMRES-DR algorithm. We show that restarted GMRES is not able to converge when the system is poorly conditioned. By adding deation in the form of the FGMRES-DR algorithm, an important fraction of the information produced by the iterates is kept between successive restarts leading to convergence in cases in which FGMRES stagnates.

연구 동기 및 목표

• 라티스 QCD 시뮬레이션에서 유도되는 대규모 희소 불량조건 선형계를 해결하는 데 있어 재시작 GMRES의 수렴 실패 문제를 해결하기 위해.
• 다중 병렬 컴퓨터에서 윌슨-디랙 연산자 역행렬 계산을 위한 반복 해법의 강건성을 향상시키기 위해.
• 곱셉 색실 프리컨디셔닝(SAP)을 유연한 GMRES-DR와 결합하여 재시작 간에 유용한 정보를 유지하기 위해.
• 탈착이 정체를 방지하고 표준 FGMRES가 실패하는 경우에도 수렴을 가능하게 함을 입증하기 위해.

제안 방법

• 계산 조건을 향상시키기 위해 다중 색실 교대 절차(SAP)를 프리컨디셔너로 사용한다.
• 반복 간 프리컨디셔닝을 변화시킬 수 있도록 허용하는 GMRES-DR의 유연한 변종(FGMRES-DR)을 적용한다.
• 이전 카이로프 부분공간에서 유도된 근사 불변 부분공간 정보를 유지하기 위해 탈착을 구현한다.
• 카이로프 부분공간 기저의 변화에 적응할 수 있는 유연한 프리컨디셔너 구조를 유지한다.
• SAP와 FGMRES-DR을 조합하여 악조건 시스템에서 수렴 행동을 향상시킨다.
• 메모리 및 계산 비용을 관리하면서도 수렴 안정성을 유지하기 위해 재시작과 탈착을 함께 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FGMRES-DR에 탈착을 적용하면 라티스 QCD에서 유도된 악조건 선형계의 정체를 극복할 수 있는가?
• RQ2 SAP와 유연한 GMRES-DR의 조합은 표준 재시작 GMRES에 비해 수렴을 어떻게 향상시키는가?
• RQ3 재시작 간에 탈착을 통해 정보를 유지함으로써 수렴 강건성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유연한 프리컨디셔닝 전략은 다중 병렬 아키텍처에서 스케일러빌리티를 유지하는가?
• RQ5 이 방법은 표준 방법이 실패하는 라티스 QCD 시뮬레이션에서 윌슨-디랙 연산자를 신뢰성 있게 역행렬 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 재시작 GMRES가 악조건으로 인해 정체되는 시스템에서도 FGMRES-DR에 탈착을 적용한 결과 수렴에 성공하였다.
• 탈착은 이전 카이로프 부분공간에서 유도된 핵심 정보를 유지하여 재시작 간 수렴 진전의 손실을 방지한다.
• SAP와 유연한 GMRES-DR의 조합은 윌슨-디랙 연산자 역행렬 계산에 대해 강력하고 확장 가능한 해법을 제공한다.
• 재시작 간에 작은 관련 부분공간만 유지함으로써 계산 효율성을 유지한다.
• 표준 반복 해법이 실패하는 과도한 난이도의 라티스 QCD 시나리오에서도 이 방법은 수렴을 가능하게 한다.