[논문 리뷰] Decidability of minimization of fuzzy automata

Lvzhou Li, Daowen Qiu|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 18.

Formal Methods in Verification참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 전체 순서가 있는 랏스에 대해 퍼지 자동차의 최소화 문제의 결정 가능성을 증명한다. 이는 퍼지 다항방정식 시스템을 해결하는 데 기반한 새로운 프레임워크를 도입함으로써 이루어진다. 주요 기여는 주어진 퍼지 자동차가 등가인 k-상태 자동차를 가지는지 여부를 판단하는 결정 절차를 제공하는 것으로, 문제의 결정 가능성을 입증하고 최소한 PSPACE-완전함을 보여준다.

ABSTRACT

State minimization is a fundamental problem in automata theory. The problem is also of great importance in the study of fuzzy automata. However, most work in the literature considered only state reduction of fuzzy automata, whereas the state minimization problem is almost untouched for fuzzy automata. Thus in this paper we focus on the latter problem. Formally, the decision version of the minimization problem of fuzzy automata is as follows: \begin{itemize} \item Given a fuzzy automaton $\mathcal{A}$ and a natural number $k$, that is, a pair $\langle \mathcal{A}, k angle$, is there a $k$-state fuzzy automaton equivalent to $\mathcal{A}$? \end{itemize} We prove for the first time that the above problem is decidable for fuzzy automata over totally ordered lattices. To this end, we first give the concept of systems of fuzzy polynomial equations and then present a procedure to solve these systems. Afterwards, we apply the solvability of a system of fuzzy polynomial equations to the minimization problem mentioned above, obtaining the decidability. Finally, we point out that the above problem is at least as hard as PSAPCE-complete.

연구 동기 및 목표

• 퍼지 자동차에 대한 상태 최소화 문제가 결정 가능한지 여부라는 오랫동안 열려 있던 문제를 해결하기 위해.
• 주어진 퍼지 자동차 𝒜와 정수 k에 대해 등가인 k-상태 퍼지 자동차가 존재하는지 여부를 판단하는 문제의 결정적 형태를 정식화하기 위해.
• 해결 가능한 퍼지 다항방정식 시스템을 사용하여 k-상태 등가 퍼지 자동차의 존재 여부를 판단하는 절차를 수립하기 위해.
• 최소화 문제의 계산 복잡도를 분석하여, 최소한 PSPACE-완전함의 난이도를 보여주기 위해.

제안 방법

• 주어진 자동차 𝒜와 정수 k에 대해, 𝒜와 등가인 모든 가능한 k-상태 자동차를 포함하는 집합 𝕊(𝒜,k)의 비어있음 여부를 판단하는 것으로 결정 문제를 정의한다.
• 기존 자동차와 후보 k-상태 자동차 간의 등가성 조건을 코딩하는 퍼지 다항방정식 시스템 (25)을 구성한다.
• 알고리즘 I을 사용하여 퍼지 다항방정식 시스템의 가역성 여부를 검사함으로써, 유효한 k-상태 자동차가 존재하는지 여부를 판단한다.
• 전이 함수 δ와 출력 함수 η의 반복적 조합을 통해 식의 우변 값을 계산하며, 길이 c = |V|^{n+k}−1 까지 수행한다.
• 모든 가능한 상태 할당 X ∈ V^{2k+|Σ|k²}에 대해 좌변을 평가하여 시스템의 가역성 여부를 테스트한다.
• 정리 4를 적용하여 방정식 시스템이 해를 가지는지 여부를 검증함으로써, k-상태 등가 자동차의 존재 여부를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 순서가 있는 랏스에서 퍼지 자동차의 최소화 문제는 결정 가능한가?
• RQ2 등가인 k-상태 퍼지 자동차의 존재 여부를 알고리즘적으로 결정할 수 있는가?
• RQ3 퍼지 자동차 최소화 문제의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 퍼지 다항방정식 시스템을 효과적으로 해결하여 최소화를 가능하게 할 수 있는가?

주요 결과

• 전체 순서가 있는 랏스에서 퍼지 자동차의 최소화 문제는 결정 가능하며, 이는 오랫동안 열려 있던 문제에 대한 첫 번째 긍정적 결과를 제공한다.
• 해결 가능한 퍼지 다항방정식 시스템에 기반한 결정 절차가 구성되었으며, 이는 k-상태 등가 자동차의 존재 여부를 판단할 수 있다.
• 알고리즘은 O(|V|^{2k+|Σ|k²} N k² + N n²) 시간 내에 실행되며, 여기서 N = 1 + |Σ| + ⋯ + |Σ|^{c} 이고 c = |V|^{n+k}−1 이다.
• NFA 최소화 문제로부터의 환원을 통해 문제의 난이도가 최소한 PSPACE-완전임을 입증하였다. 이는 NFA 최소화 문제가 기존에 PSPACE-완전함이 알려져 있음을 반영한다.
• 제안된 방법은 퍼지 자동차에 대해 불가분성에 의한 상태 병합 개념을 대체로 일반화하며, 퍼지 다항방정식 시스템에 코딩된 대수적 제약 조건을 사용한다.