[논문 리뷰] Decision problems and profinite completions of groups

Martin R. Bridson|ArXiv.org|2008. 10. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성, 잔여 유한인 군에서 프로파인 군 이론의 기본적인 알고리즘적 결정 불가능성을 확립한다. 이는 프로파인 완비화가 서로 동형이지만 군론적 성질—예를 들어, 공轭, 동형, 완전성—이 알고리즘적으로 결정 불가능한 군을 구성함으로써 이루어진다. 이는 이러한 군들 사이의 동형성 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, 심지어 그들의 프로파인 완비화가 동일한 경우에도 마찬가지이며, 결정 불가능한 문제를 인코딩한 명시적인 가족을 구성한다.

ABSTRACT

We consider pairs of finitely presented, residually finite groups $P\hookrightarrow\G$ for which the induced map of profinite completions $\hat P o \hat\G$ is an isomorphism. We prove that there is no algorithm that, given an arbitrary such pair, can determine whether or not $P$ is isomorphic to $\G$. We construct pairs for which the conjugacy problem in $\G$ can be solved in quadratic time but the conjugacy problem in $P$ is unsolvable. Let $\mathcal J$ be the class of super-perfect groups that have a compact classifying space and no proper subgroups of finite index. We prove that there does not exist an algorithm that, given a finite presentation of a group $\G$ and a guarantee that $\G\in\mathcal J$, can determine whether or not $\G\cong\{1\}$. We construct a finitely presented acyclic group $\H$ and an integer $k$ such that there is no algorithm that can determine which $k$-generator subgroups of $\H$ are perfect.

연구 동기 및 목표

• 이sov형 프로파인 완비화를 가진 군에서의 결정 문제의 알고리즘 복잡도를 조사한다.
• 고정된 군의 부분군 간에 동형성이 존재할 때, 그들의 프로파인 완비화가 동형인 경우, 그 동형성 여부가 알고리즘적으로 결정 가능한지 여부를 규명한다.
• 콤���트 분류공간을 가진 초완전적이고 잔여 유한인 군에서의 결정 가능성의 한계를 탐색한다.
• 프로파인 완비화가 동형인데도 불구하고, 한 군에서는 공轭 문제의 해법이 존재하고 다른 군에서는 존재하지 않는 명시적인 예를 구성한다.
• 유한 생성된 약간의 부분군에서 완전성의 결정 불가능성을 보이는, 유한 생성된 약간의 부분군을 가진 약간의 부분군을 구성한다.

제안 방법

• 프로파인 완비화는 동형인데도 추상적 구조는 동형이 아닌 군을 구성하는 Bridson-Grunewald의 기법을 활용한다.
• Higman 유형 군의 재귀적 가족 표현을 사용하여 단어 문제의 결정 불가능성을 섬유 곱에 인코딩한다.
• 프로파인 및 호모로지적 성질을 특정하게 갖는 부분군을 분리하기 위해 Tietze 변환을 적용한다.
• 완전한 군의 보편 중심 확장을 사용하여 제어된 호모로지 성질을 갖는 새로운 유한 생성 군을 생성한다.
• 유한 생성된 약간의 부분군의 재귀적 수열을 약간의 부분군 내에서 구성하여 히딩 문제를 인코딩한다.
• 프로파인 위상과 유한 몫 분석을 사용하여, 프로파인 완비화의 동형성이 추상적 동형성을 탐지하지 못함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 유한 생성, 잔여 유한 군의 프로파인 완비화가 동형인 경우, 이들이 서로 동형인지 여부를 알고리즘이 결정할 수 있는가?
• RQ2 고정된 유한 생성 군이 약간의 부분군을 가지며, 그 군이 약간의 부분군을 가지는 경우, 주어진 k-생성 부분군이 완전한지 여부는 결정 가능한가?
• RQ3 프로파인 완비화가 동형인 두 군에서, 한 군에서는 공轭 문제의 해법이 존재하고 다른 군에서는 존재하지 않는가?
• RQ4 클래스 𝒥(초완전적, 콤팩트 분류공간, 유한지수 부분군이 없는) 유한 생성 군이 자명한지 여부를 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 프로파인 동형 타입의 완비화가 결정 불가능한 부분군의 재귀적 수열을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 생성, 잔여 유한 군 P ⊂ Γ 가 존재하여, 프로파인 완비화 사상  ĥP → ĥΓ 가 동형이지만, P에서의 공轭 문제는 결정 불가능하고, Γ에서는 2차 시간 내에 해법이 존재한다.
• 유한 생성 부분군 P ⊂ Γ 가 추상적으로 Γ 와 동형인지 여부를 판단할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않는다. 이는 ĥP → ĥΓ 가 동형인 경우에도 마찬가지다.
• 고정된 유한 생성, 잔여 유한 군 Γ 와 고정된 k에 대해, 재귀적 수열인 k-생성 부분군 Kn ⊂ Γ 가 존재하여, 어떤 알고리즘으로도 어떤 n 에서 ĥKn → ĥΓ 가 동형인지 여부를 결정할 수 없다.
• 유한 생성된 약간의 부분군 H 와 정수 k 가 존재하여, H 의 어떤 k-생성 부분군이 완전한지 여부를 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않는다.
• 클래스 𝒥(초완전적, 콤팩트 분류공간, 적절한 유한지수 부분군이 없는) 유한 생성 군이 자명한지 여부를 결정할 수 있는 알고리즘이 존재하지 않는다.
• ĥP → ĥΓ 가 동형인다고 해서 P 와 Γ 가 동형인 것은 아니며, 이는 둘 다 유한 생성이고 잔여 유한일 경우에도 마찬가지다.