[논문 리뷰] Decodable quantum LDPC codes beyond the $\sqrt{n}$ distance barrier using high dimensional expanders

Shai Evra, Tali Kaufman외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 Ramanujan 복합체와 Hastings 및 Tillich-Zemor의 영감을 받은 텐서 곱 방법을 활용하여, 최소 거리가 $\sqrt{n}$ 장벽을 초월하는 첫 번째 양자 LDPC 코드 가족을 구축한다—$n^{1/2}\log n$에 도달한다. 이는 고차원 확산체와 고전적 LDPC 코드를 조합하여 다항 시간 복원 알고리즘을 가능하게 하며, 이전의 거리 한계를 초월하는 오류를 수정할 수 있다.

ABSTRACT

Constructing quantum LDPC codes with a minimum distance that grows faster than a square root of the length has been a major challenge of the field. With this challenge in mind, we investigate constructions that come from high-dimensional expanders, in particular Ramanujan complexes. These naturally give rise to very unbalanced quantum error correcting codes that have a large $X$-distance but a much smaller $Z$-distance. However, together with a classical expander LDPC code and a tensoring method that generalises a construction of Hastings and also the Tillich-Zemor construction of quantum codes, we obtain quantum LDPC codes whose minimum distance exceeds the square root of the code length and whose dimension comes close to a square root of the code length. When the ingredient is a 3-dimensional Ramanujan complex, we show that its 2-systole behaves like a square of the log of the complex size, which results in an overall quantum code of minimum distance $n^{1/2}\log n$, and sets a new record for quantum LDPC codes. When we use a 2-dimensional Ramanujan complex, or the 2-skeleton of a 3-dimensional Ramanujan complex, we obtain a quantum LDPC code of minimum distance $n^{1/2}\log^{1/2}n$. We then exploit the expansion properties of the complex to devise the first polynomial time algorithm that decodes above the square root barrier for quantum LDPC codes.

연구 동기 및 목표

• 양자 LDPC 코드에서 오랫동안 지속된 $\sqrt{n}$ 거리 장벽을 극복하기 위해.
• 최소 거리가 $\sqrt{n}$를 크게 초월하는 양자 LDPC 코드를 구축하면서도, 일정한 무게의 체크행렬을 유지하기 위해.
• 다항 시간 내에 복원 가능한 양자 LDPC 코드 복원 알고리즘을 개발하여 $\sqrt{n}$ 거리 임계값을 초월하는 성능을 내기 위해.
• Ramanujan 복합체의 확산 성질을 활용하여 고거리, 고율의 양자 코드를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 3차원 Ramanujan 복합체를 기하학적 기초로 활용하여, 높은 차원의 확산성과 유한한 차수의 구조를 이용한다.
• Ramanujan 복합체의 2-스켈레톤에서 양자 코드를 구성하며, 정점-모서리 및 삼각형-모서리 인cidencematrix를 각각 $H_X$와 $H_Z$로 사용한다.
• Hastings 및 Tillich-Zemor의 영감을 받은 텐서 곱 방법을 적용하여 $Z$-거리만을 증폭하면서도 LDPC 구조를 유지한다.
• 복합체의 $2$-systole을 핵심 기하학적 불변량으로 사용하며, 이는 3차원 복합체에서 $\log^2 n$과 유사하게 행동한다.
• 복합체의 확산 성질을 활용하여 局소 최소성과 코바운더리 감소를 기반으로 한 단순화된 복원 알고리즘을 도입한다.
• Cartwright-Steger 군과 교차 하위군을 사용하여 원하는 대칭성과 확산성을 갖춘 명시적 Ramanujan 복합체를 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 거리가 $\sqrt{n}$를 초월하는 양자 LDPC 코드를 구성할 수 있는가, 이는 오랫동안 지속된 장벽을 뛰어넘는가?
• RQ2 Ramanujan 복합체와 같은 고차원 확산체를 사용하여 고거리와 고율을 동시에 갖춘 양자 코드를 구성할 수 있는가?
• RQ3 $\sqrt{n}$ 거리 임계값을 초월하는 오류를 다룰 수 있는 다항 시간 복원 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 Ramanujan 복합체의 $2$-systole 및 고차원 확산 성질이 코드 거리 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 최소 거리가 $n^{1/2}\log n$인 양자 LDPC 코드를 구축하여, $\sqrt{n}$ 장벽을 초월하는 새로운 기록을 수립한다.
• 코드 차원은 $\sqrt{n}$에 가까워지며, 이전에는 달성할 수 없었던 비율과 거리의 균형을 이룬다.
• 3차원 Ramanujan 복합체의 경우 $2$-systole는 $\log^2 n$ 비슷하게 스케일링되며, 이는 직접적으로 $n^{1/2}\log n$ 거리 스케일링에 기여한다.
• 지역 최소성과 코바운더리 감소를 기반으로 한 다항 시간 복원 알고리즘이 제안되었으며, 코드 길이의 일정 비율 이내의 오류를 수정할 수 있다.
• 기본 코드에서 $d_X = \log n$ 및 $d_Z = \Omega(n)$를 달성하고, 텐서 곱 방법을 통해 효과적인 거리가 $\sqrt{n}$을 초월한다.
• 오류 무게가 $c|E|$ 이하일 경우 복원 알고리즘이 성공함을 증명하였으며, $c$는 $q$에 대해 감소하는 함수이다. 이는 제한된 오류에 대한 강건성을 보여준다.