[논문 리뷰] Decomposition of Geometric Set Systems and Graphs

Dömötör Pálvölgyi|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 01.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 35인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 볼록 다각형이 모두 커버 분해 가능하다는 것을 증명함으로써 패치의 추측을 해결한다. 즉, 다각형의 평행 이동으로 이루어진 평면의 충분히 높은 다중 커버링은 항상 k개의 서로소 커버링으로 분해될 수 있음을 보여준다. 또한 3차원에서는 어떤 볼록 다면체도 커버 분해 가능하지 않으며, 유계 차수 그래프의 기울기 수에 대해 날카러진 경계를 제공한다. 이는 삼차 그래프가 오직 다섯 가지의 서로 다른 기울기로 그릴 수 있음을 증명한다.

ABSTRACT

We study two decomposition problems in combinatorial geometry. The first part deals with the decomposition of multiple coverings of the plane. We say that a planar set is cover-decomposable if there is a constant m such that any m-fold covering of the plane with its translates is decomposable into two disjoint coverings of the whole plane. Pach conjectured that every convex set is cover-decomposable. We verify his conjecture for polygons. Moreover, if m is large enough, we prove that any m-fold covering can even be decomposed into k coverings. Then we show that the situation is exactly the opposite in 3 dimensions, for any polyhedron and any $m$ we construct an m-fold covering of the space that is not decomposable. We also give constructions that show that concave polygons are usually not cover-decomposable. We start the first part with a detailed survey of all results on the cover-decomposability of polygons. The second part investigates another geometric partition problem, related to planar representation of graphs. The slope number of a graph G is the smallest number s with the property that G has a straight-line drawing with edges of at most s distinct slopes and with no bends. We examine the slope number of bounded degree graphs. Our main results are that if the maximum degree is at least 5, then the slope number tends to infinity as the number of vertices grows but every graph with maximum degree at most 3 can be embedded with only five slopes. We also prove that such an embedding exists for the related notion called slope parameter. Finally, we study the planar slope number, defined only for planar graphs as the smallest number s with the property that the graph has a straight-line drawing in the plane without any crossings such that the edges are segments of only s distinct slopes. We show that the planar slope number of planar graphs with bounded degree is bounded.

연구 동기 및 목표

• 평면 상의 볼록 집합의 커버 분해 가능성에 대한 패치의 추측을 해결하기 위해.
• 평면과 공간에서 다중 커버링의 분해를 서로소 커버링으로 나누는 것을 조사하기 위해.
• 유계 최대 차수를 가진 그래프의 기울기 수와 평면 기울기 수를 결정하기 위해.
• 초그래프 이동 체인과 커버 분해 가능성 간의 관계를 검토하기 위해.
• 일반 및 평면 그래프의 직선 도형에 필요한 기울기 수에 대해 날카러진 경계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 충분히 큰 m일 때, 볼록 다각형으로 이루어진 평면의 m중 커버링이 항상 k개의 서로소 커버링으로 분해될 수 있음을 기하학적 및 조합적 추론을 통해 증명한다.
• 3차원에서 모든 볼록 다면체가 커버 분해 가능하지 않음을 보이기 위해 명시적인 반례를 구성한다. 이는 m중 커버링일지라도 두 개 이상의 서로소 커버링으로 분해될 수 없다.
• 특히 Property B와 이동 체인 구성 기법을 활용한 초그래프 색칠 기법을 적용하여 커버 분해 가능성 분석을 수행한다.
• 기울기 제약 조건이 있는 그래프 도식 기법을 활용하며, 기하학적 임bedding과 기울기 매개변수 분석을 수행한다.
• 극한 조합론과 로바슈 국소 렘마를 적용하여 평면 그래프 도식에서 기울기 수의 경계를 설정한다.
• 점 집합과 볼록 집합의 기하학적 변환을 통해 기울기 수 문제를 초그래프 색칠 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 커버링 다중도 m이 충분히 클 경우, 모든 볼록 다각형은 k개의 서로소 커버링으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 3차원 공간의 모든 볼록 집합은 커버 분해 가능한가?
• RQ3 최대 차수 4인 그래프의 기울기 수는 무한한가?
• RQ4 최대 차수 d인 모든 평면 그래프는 O(d)개의 서로 다른 기울기로 그릴 수 있는가?
• RQ5 큰 k에 대해 k-균일 초그래프의 이동 체인은 Property B를 가진다?

주요 결과

• m이 k와 다각형에 따라 충분히 클 경우, 볼록 다각형으로 이루어진 평면의 m중 커버링은 항상 k개의 서로소 커버링으로 분해될 수 있다.
• 3차원에서는 임의의 볼록 다면체와 임의의 m에 대해, 두 개 이상의 서로소 커버링으로 분해될 수 없는 m중 커버링이 존재한다.
• 최대 차수 3인 모든 평면 그래프는 오직 다섯 가지의 서로 다른 기울기로 그릴 수 있다.
• 최대 차수가 유계인 평면 그래프의 평면 기울기 수는 정점 수와 무관하게 유계이다.
• 최대 차수가 5 이상인 그래프의 기울기 수는 정점 수가 증가함에 따라 무한히 커진다.
• 최대 차수가 3 이하인 그래프의 기울기 매개변수 역시 유계이며, 이러한 그래프는 오직 다섯 가지 기울기로 임베딩이 가능하다.