[논문 리뷰] Decomposition of linear metric perturbations on generic background spacetime -- Toward higher-order general-relativistic gauge-invariant perturbation theory

K. Nakamura|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 06.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 시공간이 ADM 분해를 허용할 경우 선형 거리 편미분이 유일하게 게이지 불변 및 게이지 의존 성분으로 분해될 수 있음을 증명하며, 고차원 일반상대론적 게이지 불변 편미분 이론의 핵심 기초를 마련한다. 핵심 결과는 공간 초면에서 대칭 텐서에 대한 횡방향-자기형 분해의 존재성과 유일성으로, conformal Killing 벡터가 존재하더라도 수직성과 해의 존재성을 보장한다.

ABSTRACT

The decomposition of the linear-order metric perturbation is discussed in the context of the higher-order gauge-invariant perturbation theory. We show that the linear order metric perturbation is decomposed into gauge-invariant and gauge-variant parts on the general background spacetime which admits ADM decomposition. This decomposition was an important premise of the general framework of the higher order gauge-invariant perturbation theory proposed in the papers [K. Nakamura, Prog. Theor. Phys. vol.110 (2003), 723; ibid. vol.113 (2005), 481]. This implies that we can develop the higher-order gauge-invariant perturbation theory on generic background spacetime. Remaining issues to complete the general-framework of the higher-order gauge-invariant perturbation theories are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 일반상대성 이론에서 고차원 게이지 불변 편미분 이론에 대한 엄밀한 기초를 확립하기 위해.
• 고차 편미분에서 오랫동안 지속된 게이지 의존성 문제를 해결하기 위해 선형 차수에서 게이지 불변 분해의 존재성을 증명하기 위해.
• 고차 게이지 불변 편미분 이론의 일반 프레임워크를 뒷받침하는 추측이 ADM 분해 가정 하에 유효한지 확인하기 위해.
• conformal Killing 벡터가 존재하더라도 분해가 유일하고 수직임을 보장하기 위해.
• 임의의 배경 시공간에서 일致한 제2차 및 고차 편미분 이론의 개발을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 시공간의 ADM 분해를 사용하여, 리만 메트릭 q_ab 를 가진 공간 초면 Σ 를 정의한다.
• 벡터 장의 리 미분의 대칭 비트레이스 부분을 기술하기 위해 연산자 D_ab ≡ 2D_(a W_b) − (2/n) q_ab D_c W^c 를 적용한다.
• 대칭 텐서 ψ_ab 의 횡방향-자기형(TT) 분해를 ψ_TT^ab = ψ_ab − (1/n)ψ q_ab − (LW)^ab 로 정의한다. 여기서 W 는 벡터 장이다.
• 경계 항을 무시함으로써 연산자 D^ab 의 자기수반성(self-adjointness)을 확립하여, 방정식 D^ab W_b = S^ab 의 해 존재성을 보장한다.
• 이론적 적분을 통해 TT 부분이 트레이스 부분 (1/n)ψ q_ab 와 대칭 비트레잇스 부분 (LW)^ab 에 수직임을 보여준다.
• 원인 항이 이러한 모드와 수직이므로 conformal Killing 벡터가 TT 분해에 영향을 주지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 배경 시공간에서의 선형 거리 편미분은 게이지 불변 및 게이지 의존 성분으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 ADM 분해 하에서 공간 초면에서 대칭 텐서의 횡방향-자기형 분해는 유일하고 잘 정의되어 있는가?
• RQ3 선형 차수 분해가 유효할 경우 게이지 불변 편미분 프레임워크는 고차로 일致하게 확장될 수 있는가?
• RQ4 conformal Killing 벡터는 분해 방정식의 해 존재성에 영향을 미치는가?
• RQ5 분해 방정식의 원인 항은 미분 연산자의 핵심(kernel)과 수직인가? 이는 유일한 해 존재를 보장한다.

주요 결과

• ADM 분해를 허용하는 일반 시공간에서의 선형 거리 편미분은 유일하게 게이지 불변 횡방향-자기형 부분과 게이지 의존 부분으로 분해될 수 있다.
• 경계 항을 무시할 경우 연산자 D^ab 는 자기수반성을 띠며, 그로 인해 그린 함수의 존재와 분해 방정식의 해 존재성을 보장한다.
• conformal Killing 벡터는 원인 항이 이들과 수직이므로 TT 분해에 영향을 주지 않으며, 해의 유일성이 유지된다.
• TT 부분 ψ_TT^ab 는 트레이스 부분 (1/n)ψ q_ab 와 대칭 비트레잇스 부분 (LW)^ab 와 수직이므로, 분해의 수직성 확인된다.
• 방정식 D^ab W_b = S^ab 의 해는 conformal Killing 벡터의 덧셈을 제외하고는 유일하며, 이러한 항들은 TT 성분에 영향을 주지 않는다.
• 이 분해는 변형에 안정적이며, 임의의 배경에서 일致한 고차 게이지 불변 편미분 이론을 구성하는 데 유용한 기반을 제공한다.