[논문 리뷰] Decomposition of Nonlinear Dynamical Systems Using Koopman Gramians

Zhiyuan Liu, Soumya Kundu외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 04.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 혼합 항이 존재하는 경우에도 입력-스테이트 분리 가능한 쿠프만 표현을 학습할 수 있도록 입력-쿠프만 연산자와 딥 다이내믹 모드 분해를 활용한 데이터 기반 비선형 동적 시스템 분해 방법을 제안한다. 주요 기여는 하위계의 관측 가능성과 외부 교란에 대한 저항성을 극대화하는 비선형 분해 알고리즘으로, IEEE 39-bus 전력 시스템에서 검증되었으며, 다단계 예측 오차가 0.4% 미만이며, 제어 가능성과 관측 가능성의 균형 잡힌 클러스터링을 달성하였다.

ABSTRACT

In this paper we propose a new Koopman operator approach to the decomposition of nonlinear dynamical systems using Koopman Gramians. We introduce the notion of an input-Koopman operator, and show how input-Koopman operators can be used to cast a nonlinear system into the classical state-space form, and identify conditions under which input and state observable functions are well separated. We then extend an existing method of dynamic mode decomposition for learning Koopman operators from data known as deep dynamic mode decomposition to systems with controls or disturbances. We illustrate the accuracy of the method in learning an input-state separable Koopman operator for an example system, even when the underlying system exhibits mixed state-input terms. We next introduce a nonlinear decomposition algorithm, based on Koopman Gramians, that maximizes internal subsystem observability and disturbance rejection from unwanted noise from other subsystems. We derive a relaxation based on Koopman Gramians and multi-way partitioning for the resulting NP-hard decomposition problem. We lastly illustrate the proposed algorithm with the swing dynamics for an IEEE 39-bus system.

연구 동기 및 목표

• 복잡한 비선형 동적 시스템을 분해하여 분산 제어 성능을 향상시킬 수 있는 원리적인 데이터 기반 방법을 개발하기 위해.
• 공 ingeering 직관이 부족한 대규모 시스템, 특히 비정형 또는 사이버-물리 네트워크에서 체계적인 분해 기준의 부재 문제를 해결하기 위해.
• 쿠프만 그램يان 기반 최적화 프레임워크를 통해 하위계 내부의 관측 가능성과 외부 교란에 대한 저항성을 극대화하기 위해.
• 딥 다이내믹 모드 분해를 제어가 있는 시스템으로 확장하여 데이터로부터 입력-스테이트 분리 가능한 쿠프만 연산자를 학습할 수 있도록 하기 위해.
• 다중 방향 분할과 쿠프만 그램يان을 활용한 이론적 접근을 통해 NP-완전 문제인 분해 문제를 스케일러블한 이론적 접근으로 해결하기 위해.

제안 방법

• 입력-쿠프만 연산자를 도입하여 비선형 시스템의 관측량 변화를 모델링함으로써, 올리프트된 선형 표현을 가능하게 한다.
• TensorFlow에서 20개의 노드, 10층의 ResNet과 ELU/Dropout을 사용하여 IEEE 39-bus 시스템의 100개의 무작위 궤적에서 쿠프만 연산자를 학습하기 위해 딥 다이내믹 모드 분해를 적용한다.
• 학습된 입력-쿠프만 연산자로부터 쿠프만 그램يان을 유도하여 하위계의 관측 가능성($\kappa_o$)과 제어 가능성($\kappa_c$)을 정량화한다.
• 클러스터 간 $\kappa_o$와 $\kappa_c$의 균형을 맞추어 내부 관측 가능성과 외부 교란 저항성을 극대화하는 비선형 분해 알고리즘을 개발한다.
• 쿠프만 그램يان 기반의 이론적 접근과 다중 방향 분할을 활용하여 NP-완전 문제를 해결하기 위한 허용 기법을 적용한다.
• $\kappa_o$와 $\kappa_c$를 정규화하여 척도의 상이함을 보정하고 공정한 클러스터링을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합 상태-입력 항을 포함한 비선형 시스템이 입력-스테이트 분리 가능한 쿠프만 연산자로 근사될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 입력과 상태 항이 분리되어 있지 않은 경우에도 딥 다이내믹 모드 분해가 제어가 있는 시스템의 쿠프만 연산자를 정확히 학습할 수 있는가?
• RQ3 쿠프만 그램يان을 어떻게 활용하여 하위계의 관측 가능성과 외부 교란 저항성을 극대화하는 원리적인 분해 기준을 정의할 수 있는가?
• RQ4 쿠프만 기반 지표를 사용하여 이론적 접근 기반의 다중 방향 분할 알고리즘이 NP-완전 문제를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 제안된 분해 방법은 전력 시스템 역학에서 내성적 저항성과 관측 가능성 측면에서 공간 기반 또는 연결성 기반 클러스터링과 비교해 볼 때 어떤가?

주요 결과

• 딥 다이내믹 모드 분해 방법은 IEEE 39-bus 시스템에서 예측되지 않은 초기 조건에 대해 1단계 예측 오차가 0.01% 미만, 다단계 예측 오차가 시간 단위당 0.4% 미만을 기록하였다.
• 알고리즘은 대부분 공간적으로 일관된 발전기 군집을 성공적으로 식별하였으며, 발전기 6은 제어 가능성과 관측 가능성 점수가 낮아 고립된 상태로 분류되었다.
• 클러스터 간 $\kappa_c$의 최대 변동은 0.33434, $\kappa_o$의 최대 변동은 0.09744로 나타나 하위계 성능이 균형 잡혀 있음을 시사한다.
• 발전기 2는 높은 관측 가능성($\kappa_o$)을 보였지만 낮은 제어 가능성($\kappa_c$)을 보여 외부 교란에 취약했으며, 알고리즘이 전략적 클러스터링을 통해 이를 보완하였다.
• 물리적 근접성 외에도 입력-출력 내성 저항성과 내부 관측 가능성에 초점을 맞춘 본 논문의 방법은 공간 기반 영역 할당 방식을 능가하는 성능을 보였다.
• 쿠프만 그램يان 기반 분해는 대규모 시스템에서 히وري스틱 또는 구조 기반 하위계 분할에 대한 스케일러블하고 데이터 기반의 대안을 제공한다.