[논문 리뷰] Decomposition of stencil update formula into atomic stages

Qiqi Wang|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 02.

Diamond and Carbon-based Materials Research참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 편미분방정식을 풀기 위해 사용되는 복잡한 스텐실 업데이트 공식을, 각각 근접한 이웃 요소만 접근하는 원자 단계의 시퀀스로 분해하는 효율적인 알고리즘을 제시한다. 분해 문제를 최소비용 네트워크 플로우 문제의 이중 문제로 공식화함으로써, 빠르고 최적의 분해가 가능해지며, 표준 CPU에서 3차원 오일러 방정식 스텐실을 0.25초 이내로 8단계로 분해한 바를 통해 이를 입증하였다.

ABSTRACT

In parallel solution of partial differential equations, a complex stencil update formula that accesses multiple layers of neighboring grid points sometimes must be decomposed into atomic stages, ones that access only immediately neighboring grid points. This paper shows that this requirement can be formulated as constraints of an optimization problem, which is equivalent to the dual of a minimum-cost network flow problem. An optimized decomposition of a single stencil on one set of grid points can thereby be computed efficiently.

연구 동기 및 목표

• 대규모 병렬 컴퓨팅에서 사용하기 위해 복잡한 스텐실 업데이트 공식을 원자 단계로 효율적으로 분해하는 문제를 해결하기 위해.
• 각 단계에서 근접한 이웃 요소만 접근하는 원자 업데이트 공식을 필요로 하는 고급 병렬 알고리즘(예: 스위프트 분해)의 적용을 가능하게 하기 위해.
• OP2, Patus, Simit과 같은 스텐실 컴파일러 및 루프 최적화 도구를 위한 사전 처리 단계를 제공하기 위해.
• 큰 스텐실 공식을 순차적인 컴act하고 다룰 수 있는 단계들로 변환하여 스텐실 기반 PDE 시뮬레이션의 계산 복잡도를 감소시키기 위해.
• 복잡한 스텐실에 대해 브루트포스 조합 검색을 피하고 자동으로 최적의 분해 과정을 수행하기 위해.

제안 방법

• 각 단계가 원자적(근접한 이웃만 접근)이면서 입력-출력 의미를 유지해야 하는 제약 조건을 가진 최적화 문제로 스텐실 분해 문제를 공식화하기 위해.
• 문제를 최소비용 네트워크 플로우 문제의 이중 문제로 재구성하여 선형 프로그래밍을 통해 효율적으로 해결할 수 있도록 하기 위해.
• 노드(연산)와 간선(데이터 의존성)을 가진 계산 그래프로 스텐실 업데이트 공식을 모델링하며, 노드 값은 중간 결과를 나타낸다.
• 네트워크 플로우 이중성에 기반해, 데이터 의존성과 원자성 제약 조건을 만족하면서도 단계 수를 최소화하는 선형 프로그램을 유도하기 위해.
• 문제의 특수한 구조를 활용하여 속도를 높인 선형 프로그래밍 솔버를 적용하여 최적의 분해를 계산하기 위해.
• Python으로 알고리즘을 구현하고, 스텐실 컴파일러 및 수치 시뮬레이션 프레임워크의 사전 프로세서로 통합하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 큰 스텐실을 가진 복잡한 스텐실 업데이트 공식을 근접한 이웃 요소만 접근하는 원자 단계로 체계적이고 효율적으로 분해할 수 있는가?
• RQ2 조합 복잡도가 높은 분해 문제를 다룰 수 있는 최적화 문제로 변환할 수 있는 수학적 공식이 존재하는가?
• RQ3 실제 고성능 컴퓨팅 워크로드에서의 실용적 사용을 위해 충분히 신속하게 분해를 계산할 수 있는가?
• RQ4 최소비용 네트워크 플로우 문제의 이중 문제는 스텐실 분해에 대해 정확하고 최적의 해를 제공하는가?
• RQ5 이 방법은 3차원 오일러 방정식에 대한 4차 룬게-쿠타 스킴과 같은 실제 응용 분야의 고차 PDE 해법기에도 적용 가능한가?

주요 결과

• 8단계의 이웃을 포함하는 복잡한 3차원 오일러 방정식 업데이트 공식이 표준 랩탑 CPU에서 약 0.25초 내로 성공적으로 분해되었다.
• 최종 분해 결과는 8개의 원자 단계로 구성되었으며, 평균 각 단계당 186.625개의 노드와 연속된 단계 간 평균 6.785개의 공유 노드를 포함하였다.
• 오일러 방정식 공식의 계산 그래프는 총 1424개의 정점과 2106개의 간선을 포함하였으며, 이 중 432개의 간선이 스위프트 간선로 식별되어 단계 간 높은 수준의 데이터 재사용이 이루어졌음을 나타냈다.
• 브루트포스 검색의 비현실적인 조합 복잡도를 피하기 위해 최소비용 네트워크 플로우 문제의 이중 문제를 해결함으로써 최적의 분해를 달성하였다.
• 스텐실 컴파일러 및 병렬 실행 프레임워크를 위한 자동적이고 효율적인 사전 처리 기능을 제공하여, 복잡한 수치적 방법의 구현을 크게 단순화시켰다.
• 이 방법은 고차 시간 적분기 및 복잡한 스텐실을 가진 보존형 유한차분 스킴을 포함한 모든 스텐실 업데이트 공식에 일반적으로 적용 가능하다.