[논문 리뷰] Decorated one-dimensional cobordisms and tensor envelopes of noncommutative recognizable power series

Mikhail Khovanov|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비가환 가환 가능한 거듭제곱 급수와 장식된 1차원 코보르디즘 사이의 범주론적 프레임워크를 수립하며, 보편적 구성에 의해 텐서 봉투를 구축한다. 라벨이 붙은 경계점과 떠도는 성분을 가진 코보르디즘의 범주를 도입하여, 스케인 범주와 그 몫이 문법 대수와 델레인 유사 범주를 복원함을 보이며, 대칭 평가와 이상 몫에 대해 동치 관계가 유지됨을 보인다.

ABSTRACT

The paper explores the relation between noncommutative power series and topological theories of one-dimensional cobordisms decorated by labelled zero-dimensional submanifolds. These topological theories give rise to several types of tensor envelopes of noncommutative recognizable power series, including the categories built from the syntactic algebra and syntactic ideals of the series and the analogue of the Deligne category.

연구 동기 및 목표

• 비가환 가환 가능한 거듭제곱 급수를 장식된 1차원 코보르디즘을 통해 보편적 구성으로 형식화하기.
• 스케인 범주와 융통성 있는 몫을 통해 이러한 급수의 텐서 봉투 정의하기.
• 내부(떠도는) 경계와 대칭 평가를 포함하도록 구성 일반화하기.
• 결과적으로 얻어진 범주가 문법 대수와 델레인 유형 범주와 같은 알려진 대수적 구조를 복원함을 보여주기.
• 유한 차원 대수 위의 두 함수형으로 구성된 쌍을 통해 이론을 통합하기, 비가환 급수 접근법을 일반화함.

제안 방법

• 경계점에 라벨이 붙은 1차원 코보르디즘과 떠도는 성분을 가진 범주 $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$, 및 $\widetilde{\mathcal{C}}$ 구축하기.
• 비가환 급수 $\alpha = (\alpha^\bullet, \alpha^\circ)$를 사용하여 닫힌 코보르디즘의 평가 정의하기, 여기서 $\alpha^\bullet$는 단어 위의 선형 함수형이고 $\alpha^\circ$는 순환 단어 위의 함수형이다.
• 평가에서 유도된 관계로 코보르디즘의 자유 범주를 몫으로 나누어 스케인 범주 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 구축하기.
• 텐서 봉투 $\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}_{(0,\alpha^\circ)}$, $\underline{\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}}_{(0,\alpha^\circ)}$, 및 $\mathcal{D}\mathcal{C}_{\alpha^\circ}$ 도입하여, 대칭 사례의 대응체들과 동형임을 보여주기.
• 문법 이상 $I_{\alpha^\bullet}, I_{\alpha^\circ}, I^{\ell}_{\alpha^\bullet}, I^{r}_{\alpha^\bullet}$ 를 사용해 융통성 있는 몫 $\mathcal{C}_\alpha$ 정의하여 급수의 대수적 구조를 포착하기.
• 자기 결합 $\mathbf{k}$-대수 $B$와 두 함수형 $\alpha^\bullet, \alpha^\circ$를 사용해 구성 일반화하기, 생성자 $S$를 전체 대수로 대체함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 가환 가능한 거듭제곱 급수는 장식된 경계를 가진 위상적 코보르디즘 이론을 통해 어떻게 범주적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 떠도는 성분을 가진 장식된 1차원 코보르디즘에 보편적 구성이 적용되었을 때 어떤 텐서 범주가 도출되는가?
• RQ3 스케인 범주 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 와 그 몫은 문법 대수와 델레인 범주와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 대칭 함수형 $\alpha^\circ$ 는 불변 평가와 텐서 봉투 간의 동형관계를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 자유 대수에서 생성자에 대한 구성은 유한 차원 대수와 그 흔적 함수형으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 쌍 $\alpha = (\alpha^\bullet, \alpha^\circ)$ 와 관련된 스케인 범주 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 는 급수의 문법 대수와 이상으로 만들어진 범주와 동치임을 보였다.
• 텐서 봉투 $\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}_{(0,\alpha^\circ)}$, $\underline{\mathcal{D}\widetilde{\mathcal{C}}}_{(0,\alpha^\circ)}$, 및 $\mathcal{D}\mathcal{C}_{\alpha^\circ}$ 는 서로 동형이며, 다양한 구성 간의 일관성을 보여주었다.
• $\alpha^\circ = 0$ 인 경우, 범주 $\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 는 비영인 $U$-턴을 允허하며, 원의 평가는 0이 되어 순환 대칭성이 없음을 반영한다.
• $S = \emptyset$ 인 경우, 무방향 스케인 범주 $\mathcal{S}\widetilde{\mathcal{C}}_\alpha$ 는 부분 브라우어 범주(또는 룩-브라우어 범주)와 동치이며, 기존의 알려진 구조를 복원한다.
• $S = \{s\}$ 인 경우, 급수 $\alpha$ 는 두 개의 유리 함수 $Z_{\alpha^\bullet}(T)$ 와 $Z_{\alpha^\circ}(T)$ 로 표현되며, 이는 구성과 유리 생성 함수를 연결한다.
• 유한 차원 $\mathbf{k}$-대수 $B$ 와 두 함수형 $\alpha^\bullet, \alpha^\circ$ 로 일반화되었을 때, 선택된 생성 집합 $S$ 가 주어지면 결과 범주는 급수로부터 유도된 것과 동치가 된다.