[논문 리뷰] Decremental APSP in Directed Graphs Versus an Adaptive Adversary

Jacob Evald, Viktor Fredslund-Hansen외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 02.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 적응적 적대자에 대한 감소형 방향 그래프에서 모든 쌍의 최단 경로(APSP)를 유지하기 위한 새로운 결정적 및 랜덤화된 데이터 구조를 제안하며, 총 업데이트 시간이 거의 최적에 가까운 결과를 얻는다: 정확한 거리의 경우 ˜O(n³), 희박한 그래프에서 (1+ǫ)-근사 거리의 경우 ˜O(m²/³n⁵/³ + n⁸/³/(m¹/³ǫ²))로, 이는 이전의 적대자 모델에 비해 상당히 향상된 결과이다.

ABSTRACT

Given a directed graph $G = (V,E)$, undergoing an online sequence of edge deletions with $m$ edges in the initial version of $G$ and $n = |V|$, we consider the problem of maintaining all-pairs shortest paths (APSP) in $G$. Whilst this problem has been studied in a long line of research [ACM'81, FOCS'99, FOCS'01, STOC'02, STOC'03, SWAT'04, STOC'13] and the problem of $(1+ε)$-approximate, weighted APSP was solved to near-optimal update time $ ilde{O}(mn)$ by Bernstein [STOC'13], the problem has mainly been studied in the context of oblivious adversaries, which assumes that the adversary fixes the update sequence before the algorithm is started. In this paper, we make significant progress on the problem in the setting where the adversary is adaptive, i.e. can base the update sequence on the output of the data structure queries. We present three new data structures that fit different settings: We first present a deterministic data structure that maintains exact distances with total update time $ ilde{O}(n^3)$. We also present a deterministic data structure that maintains $(1+ε)$-approximate distance estimates with total update time $ ilde O(\sqrt{m} n^2/ε)$ which for sparse graphs is $ ilde O(n^{2+1/2}/ε)$. Finally, we present a randomized $(1+ε)$-approximate data structure which works against an adaptive adversary; its total update time is $ ilde O(m^{2/3}n^{5/3} + n^{8/3}/(m^{1/3}ε^2))$ which for sparse graphs is $ ilde O(n^{2+1/3})$. Our exact data structure matches the total update time of the best randomized data structure by Baswana et al. [STOC'02] and maintains the distance matrix in near-optimal time. Our approximate data structures improve upon the best data structures against an adaptive adversary which have $ ilde{O}(mn^2)$ total update time [JACM'81, STOC'03].

연구 동기 및 목표

• 적응적 적대자 모델에서 이전 쿼리 응답에 따라 업데이트 시퀀스가 결정되는 감소형 방향 그래프에서 모든 쌍의 최단 경로를 유지하는 데 오랜 기간 동안 남아 있는 과제를 해결하기 위해.
• 비밀스러운 적대자 모델에 대한 기존 결과와 더 현실적인 적응적 적대자 모델 간의 격차를 메우기 위해.
• 적응적 업데이트 하에서 정확하거나 (1+ǫ)-근사 거리를 유지할 수 있는 효율적인 데이터 구조를 설계하고, 증명 가능한 총 업데이트 시간 경계를 확보하기 위해.
• 특히 희박한 그래프에서 감소형 환경에서 정확 및 근사 APSP에 대해 거의 최적의 성능을 달성하기 위해.
• 적응적 적대자에 대해 이차 이하의 총 업데이트 시간을 달성하는 최초의 랜덤화된 데이터 구조를 제공하여, ˜O(mn²) 기준선을 향상시키기 위해.

제안 방법

• 저자들은 작은 거리에 대해 Even-Shiloach 알고리즘을, 더 큰 거리에 대해 새로운 데이터 구조를 사용하는 하이브리드 접근 방식을 도입하며, 표본 추출 및 트리 성장 히우리스틱을 활용한다.
• (1+ǫ)-근사 데이터 구조의 경우, 정점에서 시작하는 들어오는 트리를 유지하고, 거리 추정을 위해 랜덤 표본 추출을 사용하여 업데이트 비용을 낮춘다.
• 동적 집합 표본 추출에 기반한 청구 원리: 정점이 표시될 때, 집합 Qi,j(u,v)의 기대 크기는 확률적 독립성을 이용해 O(ln n / p)로 유계된다.
• 거리가 거리 임계값에 따라 수준으로 나뉘는 계층적 데이터 구조를 사용하며, 각 수준은 다른 업데이트 전략을 사용한다.
• 핵심 기법은 농도 불등식을 통해 표본 추출된 정점의 수를 기대값으로 제한하여, 각 업데이트의 기대 비용을 낮추는 것이다.
• 기하 급수적 접근을 통해 항을 균형 잡고, 알고리즘 간 전환에 최적의 임계값을 설정함으로써 총 업데이트 시간을 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적응적 적대자 하에서 감소형 방향 그래프에서 총 업데이트 시간 ˜O(n³)로 정확한 APSP를 유지할 수 있는가?
• RQ2 희박한 그래프에서 적응적 적대자 하에서 총 업데이트 시간 ˜O(√mn²/ǫ)로 (1+ǫ)-근사 APSP를 유지할 수 있는가?
• RQ3 적응적 적대자에 대해 랜덤화된 데이터 구조가 (1+ǫ)-근사 APSP에 대해 이차 이하의 총 업데이트 시간을 달성할 수 있는가?
• RQ4 이 데이터 구조의 성능은 적응적 적대자 모델 하에서 이전의 작업과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 감소형 환경에서 근사 요소 ǫ과 총 업데이트 시간 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 정확한 APSP를 총 업데이트 시간 ˜O(n³)로 유지하는 결정적 데이터 구조를 제시하며, Baswana 등 [STOC'02]의 기존 최고의 랜덤화된 결과와 일치한다.
• 결정적 (1+ǫ)-근사 데이터 구조는 총 업데이트 시간 ˜O(√mn²/ǫ)를 달성하며, 이는 희박한 그래프에서 ˜O(n².⁵/ǫ)가 되며, 적응적 적대자에 대한 ˜O(mn²) 기준선을 향상시킨다.
• 랜덤화된 (1+ǫ)-근사 데이터 구조는 총 업데이트 시간 ˜O(m²/³n⁵/³ + n⁸/³/(m¹/³ǫ²))를 달성하며, 이는 희박한 그래프에서 ˜O(n².³³)로 단순화되며, 이는 이전의 ˜O(mn²) 결과보다 상당히 향상된다.
• 정점이 표시된 후 쿼리 집합 Qi,j(u,v)의 기대 크기는 O(ln n / p)이며, 이는 총 업데이트 비용을 유계로 유지하는 데 핵심적이다.
• 작은 거리에 대해 Even-Shiloach 알고리즘과 큰 거리에 대해 새로운 데이터 구조를 조합함으로써 하이브리드 알고리즘이 희박한 그래프에서 총 기대 업데이트 시간 ˜O(m²/³n⁵/³ + n⁸/³/(m¹/³ǫ²))를 달성한다.
• 분석은 동적 집합 표본 추출에 대한 새로운 확률적 추론에 기반하며, 표본 집합이 공백일 확률이 크기와 함께 지수적으로 감소함을 보여주어, 엄밀한 기대 비용 경계를 확보할 수 있다.