[논문 리뷰] Decycling a Graph by the Removal of a Matching: Characterizations for Special Classes

Fábio Protti, Uéverton S. Souza|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 08.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 6인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 매칭-사이클 해제 가능 그래프(매칭을 제거한 후 사이클이 없는 그래프)의 NP-완전성과 식별 가능성에 대해 조사한다. 하이퍼볼릭 서브큐빅 그래프에서 정확히 두 개의 차수 2 정점만을 가진 경우의 NP-완전성을 증명하고, 구조적 특성 기반으로 순환 그래프 및 거리-유전 그래프에 대해 선형 시간 식별 알고리즘을 제공한다.

ABSTRACT

A graph $G$ is {\em matching-decyclable} if it has a matching $M$ such that $G-M$ is acyclic. Deciding whether $G$ is matching-decyclable is an NP-complete problem even if $G$ is 2-connected, planar, and subcubic. In this work we present results on matching-decyclability in the following classes: Hamiltonian subcubic graphs, chordal graphs, and distance-hereditary graphs. In Hamiltonian subcubic graphs we show that deciding matching-decyclability is NP-complete even if there are exactly two vertices of degree two. For chordal and distance-hereditary graphs, we present characterizations of matching-decyclability that lead to $O(n)$-time recognition algorithms.

연구 동기 및 목표

• 특정 제약 조건이 있는 그래프 클래스에서 매칭-사이클 해제 가능성을 결정하는 데 필요한 계산 복잡도를 규명하는 것.
• 순환 및 거리-유전 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성의 특성을 규명하여 효율적인 식별을 가능하게 하는 것.
• 매칭-사이클 해제 가능성의 NP-완전성이 2-연결성, 평면성, 서브큐빅 차수와 같은 강력한 제약 조건 하에서도 유지되는지 확인하는 것.
• 순환 및 거리-유전 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성에 대해 선형 시간 식별 알고리즘을 개발하는 것.

제안 방법

• 단순 정점의 성질과 클리크 트리의 특성을 이용해 순환 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성의 특성을 규명한다.
• 매달린 정점과 조인 연산을 통한 분해 구조를 활용해 거리-유전 그래프의 구조적 특성을 이용해 식별 조건을 유도한다.
• 기존의 알려진 NP-완전 문제로의 축소를 통해 하이퍼볼릭 서브큐빅 그래프에서의 NP-완전성을 증명하며, 정확히 두 개의 차수 2 정점만을 가진 그래프로 제약을 둔다.
• 순환 및 거리-유전 그래프에 특화된 트리 분해 및 정점 순서 성질 기반으로 선형 시간 알고리즘을 설계한다.
• 순환 그래프가 길이 ≥4인 순환 없음 사이클로 특징지어지고, 거리-유전 그래프가 유도 경로 성질로 특징지어진다는 사실을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확히 두 개의 차수 2 정점을 가진 하이퍼볼릭 서브큐빅 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성은 NP-완전인가?
• RQ2 순환 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성은 구조적 그래프 성질의 집합으로 특징지을 수 있는가?
• RQ3 거리-유전 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성은 선형 시간에 식별 가능한가?
• RQ4 순환 및 거리-유전 그래프의 어떤 구조적 특징이 매칭-사이클 해제 가능성의 효율적 식별을 가능하게 하는가?
• RQ5 매칭-사이클 해제 가능성의 NP-완전성은 평면성 및 서브큐빅 차수와 같은 강력한 제약 조건 하에서도 유지되는가?

주요 결과

• 하이퍼볼릭 서브큐빅 그래프에서 매칭-사이클 해제 가능성은 정확히 두 개의 차수 2 정점을 가진 경우조차도 NP-완전하다.
• 순환 그래프는 그 클리크 트리와 정점 순서와 관련된 특정 조건을 만족할 때에만 매칭-사이클 해제 가능하다.
• 거리-유전 그래프는 매달린 정점과 조인 연산을 통한 분해 기반의 구조적 기준을 만족할 때에만 매칭-사이클 해제 가능하다.
• 순환 및 거리-유전 그래프 모두에 대해 매칭-사이클 해제 가능성에 대한 선형 시간 식별 알고리즘이 존재한다.
• 결과적으로, 더 넓은 그래프 클래스에서는 NP-완전이지만, 순환 및 거리-유전 그래프에서는 매칭-사이클 해제 가능성이 다루기 쉬운 것으로 밝혀졌다.