[논문 리뷰] Deep calibration of the quadratic rough Heston model

Mathieu Rosenbaum, Jianfei Zhang|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 04.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다인자 근사법을 활용하여 효율적인 몬테카를로 시뮬레이션을 가능하게 하는 딥러닝 기반 보정 방법을 제안한다. 이 방법은 SPX 및 VIX의 임의의 변동성과 높은 정확도로 일치시키며, 입찰-매도 스프레드 내의 VIX 옵션 가격과 뛰어난 ATM 스케일 피팅을 달성한다. 또한 훈련된 신경망을 통해 즉각적인 헤지가 가능하다.

ABSTRACT

The quadratic rough Heston model provides a natural way to encode Zumbach effect in the rough volatility paradigm. We apply multi-factor approximation and use deep learning methods to build an efficient calibration procedure for this model. We show that the model is able to reproduce very well both SPX and VIX implied volatilities. We typically obtain VIX option prices within the bid-ask spread and an excellent fit of the SPX at-the-money skew. Moreover, we also explain how to use the trained neural networks for hedging with instantaneous computation of hedging quantities.

연구 동기 및 목표

• 연속시간 모델에서 여전히 어려운 과제인 SPX 및 VIX의 임의의 변동성 표면을 동시에 보정하는 데 도전한다.
• 과거 수익률이 미래 변동성에 피드백되는 Zumbach 효과를 반영하는 이차 난류 헤스턴 모델에 대해 효율적인 보정 절차를 개발한다.
• 시뮬레이션된 데이터에 훈련된 딥러닝 신경망을 활용하여 빠르고 정확한 옵션 가격 산정 및 헤지 구현을 가능하게 한다.
• 모델이 짧은 만기 기간 동안에도 시장에서 관측된 SPX 및 VIX 스마일을 높은 정밀도로 재현할 수 있음을 입증한다.
• 훈련된 신경망이 실시간으로 유럽 옵션의 헤지 수량을 계산할 수 있음을 보여주어 실용적 구현 가능성을 입증한다.

제안 방법

• 이차 난류 헤스턴 모델은 변동성 과정이 난류 과정 Z_t에 대해 이차적으로 의존하도록 정의되며, 과거 수익률의 피드백을 통해 Zumbach 효과를 반영한다.
• 비마르코프성인 난류 헤스턴 과정을 고차원 마르코프 시스템으로 변환하기 위해 난류 커널에 다인자 근사를 적용한다. 이는 커널 함수의 유리 근사를 통해 이루어진다.
• 근사법은 보조 변수 Z_i^t에 의해 구동되는 ODE의 집합을 사용하며, 매개변수 c_i 및 γ_i는 난류 커널의 행동을 재현하도록 선택되어 안정적이고 효율적인 오일러 유형 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 딥러닝 신경망은 몬테카를로 시뮬레이션을 기반으로 한 참값을 활용해 관측된 SPX 및 VIX의 임의의 변동성 표면을 모델 매개변수로 매핑하도록 훈련된다.
• 전이 학습을 통해 α 값이 다른 경우의 훈련을 가속화하기 위해 사전 훈련된 모델(α=0.51)을 초기화로 사용한다.
• 보정된 신경망은 가격 산정 외에도 완벽한 헤지 설정에서 즉각적인 헤지 수량 계산에도 사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이차 난류 헤스턴 모델은 짧은 만기 기간 동안에도 SPX 및 VIX의 임의의 변동성 표면을 동시에 정확하게 피팅할 수 있는가?
• RQ2 딥러닝은 복잡한 매개변수를 고속·고정밀도로 보정하는 데 효과적으로 활용될 수 있는가?
• RQ3 다인자 근사는 난류 변동성의 핵심 스타일라이즈드 특징을 유지하면서도 실현 가능한 몬테카를로 시뮬레이션을 가능하게 하는가?
• RQ4 훈련된 신경망은 모델 하에서 유럽 옵션의 실시간 헤지 수량을 제공할 수 있는가?
• RQ5 다양한 시장 제도에서의 파arameter 동역학을 통해 보정의 강건성은 어떻게 평가되는가?

주요 결과

• 모델은 SPX 임의의 변동성 스마일에 대해 뛰어난 피팅 성능를 보이며, 특히 ATM 스케일을 매우 정밀하게 재현한다.
• 시장 데이터 기반 백테스트에서 모델이 생성한 VIX 옵션 가격은 입찰-매도 스프레드 내에 포함되어 있어 강력한 시장 일치성을 나타낸다.
• 이전의 연속시간 모델이 이 작업을 어려워했던 것과는 달리, SPX 및 VIX 스마일의 공동 보정 성능이 크게 향상되었다.
• 전이 학습을 활용함으로써 다양한 α 값에 대한 보정 시 훈련 시간과 손실이 감소하여 수렴 속도가 가속화된다.
• 훈련된 신경망은 유럽 옵션의 실시간 헤지 수량을 즉각 계산할 수 있게 하여, 단지 SPX만을 사용하는 실시간 헤지 구현이 가능하다.