[논문 리뷰] Deep Curve-dependent PDEs for affine rough volatility

Antoine Jacquier, Mugad Oumgari|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 06.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 옵션 가격 설정 문제를 경로에 의존하는 편미분방정식(CPDE)으로 재구성함으로써, 아핀 거친 확률적 볼라티리티 모델에서 옵션을 가격 설정하기 위한 딥러닝 기반 알고리즘을 제안한다. 이 경우 해는 전체 경로가 아니라 향후 볼라티리티 곡선에 의존한다. 이 방법은 E, 한, 절츠의 방법에 영감을 받아 개발된 딥러닝 기반의 후행적 알고리즘을 사용하여 CPDE를 효율적으로 해결하며, 계산 비용이 높은 몬테카를로 시뮬레이션에 비해 뛰어난 정확도와 빠른 속도를 보여주는 유망한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce a new deep-learning based algorithm to evaluate options in affine rough stochastic volatility models. Viewing the pricing function as the solution to a curve-dependent PDE (CPDE), depending on forward curves rather than the whole path of the process, for which we develop a numerical scheme based on deep learning techniques. Numerical simulations suggest that the latter is a promising alternative to classical Monte Carlo simulations.

연구 동기 및 목표

• 거친 확률적 볼라티리티 모델에서 옵션을 가격 설정하기 위한 몬테카를로 시뮬레이션의 수치적 효율적인 대안을 개발하기 위해.
• 거친 볼라티리티 모델에서 경로에 의존하는 편미분방정식의 계산적 한계를 해결하기 위해 전체 경로에 대한 의존도를 향후 볼라티리티 곡선으로 줄이기 위해.
• 패스에 의존하는 편미분방정식을 통해 파인만-카프 프레임워크를 거친 볼라티리티 모델로 확장하여, PDE 기반의 가격 설정 접근법을 가능하게 하기 위해.
• 아핀 거친 로컬 볼라티리티 모델에서 발생하는 경로에 의존하는 편미분방정식을 해결하기 위한 딥러닝 기반 수치적 방법을 설계하기 위해.
• 수치 시뮬레이션을 통해 제안된 방법을 검증하고, 전통적인 몬테카를로 방법과의 성능을 비교하기 위해.

제안 방법

• 가격 설정 함수는 상태가 과정의 전체 경로가 아니라 향후 볼라티리티 곡선에 의존하는 경로에 의존하는 편미분방정식(CPDE)의 해로 재구성된다.
• CPDE는 시간 그리드를 사용하여 이산화되고, 특히 거친 헤스턴 및 거친 버그오미 모델에 대해 기억 핵함수를 포함한 확률적 미분방정식의 시스템으로 근사된다.
• E, 한, 절츠의 방법에 영감을 얻은 딥러닝 기반의 후행적 알고리즘이 사용되어 고차원 CPDE를 고정 메쉬에 의존하지 않고 효율적으로 해결한다.
• 이 방법은 브라운 운동 증분과 기억 핵함수 간의 공분산 행렬의 구조를 활용하여 볼라티리티 및 주식 가격 과정의 효율적 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 알고리즘은 볼라티리티 및 자산 가격 역학의 상관관계 있는 가우시안 증분을 생성하기 위해 콜레스키 분해를 사용하여 교차 변동성 구조를 정확히 유지한다.
• 이산화 방법은 토플리츠 행렬의 성질과 빠른 푸리에 변환을 활용하여 계산 효율성을 최적화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딥러닝 기반 방법이 아핀 거친 확률적 볼라티리티 모델에서 발생하는 경로에 의존하는 편미분방정식을 몬테카를로 시뮬레이션보다 더 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 가격 설정 함수가 과정의 전체 경로가 아니라 향후 볼라티리티 곡선의 함수로 표현될 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ3 제안된 딥러닝 기반 알고리즘이 거친 볼라티리티 모델에 대해 전통적인 몬테카를로 방법과 비교해 정확도와 속도 면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ4 다양한 매개변수 설정 하에서 딥러닝 기반 CPDE 해법의 수치적 안정성과 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ5 이 방법은 계산 효율성을 유지하면서 로컬 볼라티리티 성분을 포함하도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 딥러닝 기반 알고리즘은 몬테카를로 시뮬레이션과 유사한 정확도를 보이며, 계산 시간을 크게 단축시킨다.
• 아핀 거친 볼라티리티 모델에서의 가격 설정 함수는 전체 경로가 아니라 향후 볼라티리티 곡선에만 의존하므로, 경로에 의존하는 편미분방정식의 사용이 정당화된다.
• 수치 실험에서 이 방법은 특히 유럽형 바닐라 옵션에 대해 강건성과 확장성을 입증하였다.
• 딥러닝 기반의 후행적 알고리즘을 통해 고차원 CPDE를 사전에 정의된 메쉬 없이도 효율적으로 해결할 수 있었다.
• 특히 복잡한 기억 핵함수를 가진 모델에서 표준 몬테카를로보다 속도 면에서 뛰어나며, 정확도는 경쟁 수준을 유지하였다.
• 빠른 푸리에 변환과 토플리츠 행렬의 구조를 활용한 이산화 방법은 큰 시간 그리드에 있어서 성능을 향상시켰다.