[논문 리뷰] Deep factorisation of the stable process III: Radial excursion theory and the point of closest reach

Andreas E. Kyprianou, Víctor M. Hernández Rivero외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 29.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 d ≥ 2인 d차원 등방향 안정 과정에 대해 새로운 반경 이완 이론을 개발하며, 원점에 가장 가까이 다가오는 점의 정확한 분포를 확립하고, n중도의 변동 정리(identity)를 유도한다. 기저가 되는 마코프 추가 과정(MAP)의 람베르티-키우 변환과 위너-홉프 분해를 사용하여, 반경 최대값에 대해 반사된 과정의 정적분포를 규명하고, 고차원에서의 안정 과정에 대한 완전한 위너-홉프 표현을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we continue our understanding of the stable process from the perspective of the theory of self-similar Markov processes in the spirit of the recent papers of Kyprianou (2016) and Kyprianou et al. (2017). In particular, we turn our attention to the case of $d$-dimensional isotropic stable process, for $d\geq 2$. Using a completely new approach we consider the distribution of the point of closest reach. This leads us to a number of other substantial new results for this class of stable processes. We engage with a new radial excursion theory, never before used, from which we develop the classical Blumenthal-Getoor-Ray identities for first entry/exit into a ball, cf. Blumenthal et al. (1961), to the setting of $n$-tuple laws. We identify explicitly the stationary distribution of the stable process when reflected in its running radial supremum. Moreover, we provide a representation of the Wiener-Hopf factorisation of the MAP that underlies the stable process through the Lamperti-Kiu transform.

연구 동기 및 목표

• d ≥ 2인 d차원 등방향 안정 과정에 대해, 기하학적 변동 특성으로서의 원점에 가장 가까이 다가오는 지점의 정확한 분포를 확립하는 것.
• 기존의 블룸נטל-게투어-레이 정리를 n중도 법칙으로 확장하는 데 특화된 새로운 반경 이완 이론을 개발하는 것.
• 반경 최대값에 대해 반사된 안정 과정의 정적분포를 규명하는 것.
• 안정 과정의 기저가 되는 MAP에 대한 위너-홉프 분해를 람베르티-키우 변환을 통해 명시적으로 표현하는 것.
• 등방성과 반경 스케일링을 활용하여, 1차원에서의 변동 정리를 고차원 등방향 안정 과정으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 반경 과정 |X_t|를 e^{ξ_{φ(t)}}로 표현하기 위해 람베르티-키우 변환을 사용하며, 여기서 ξ는 명시적인 위너-홉프 분해를 갖는 초함수 레비 과정이다.
• 반경 과정의 누적 최대값과 최소값을 기반으로 한 새로운 반경 이완 이론을 적용하여, 구에서의 첫 번째 통과 및 퇴출 시간 분석이 가능하게 한다.
• 등방성을 활용한 구형 대칭성을 고려하여, 각도 성분 Θ를 반경 과정과 연결하기 위해 리에시-보간단-주크 변환을 사용한다.
• 새로운 반경 이완 프레임워크와 q↓0에서의 약한 수렴을 활용하여, 구로의 첫 진입/퇴출 시간에 대한 n중도 법칙을 도출한다.
• q↓0에서 qU^{(q),-}_x의 수렴성을 이용하여 정적 측도를 규명하고, 이를 단위 구면 위의 표면 측도와 연결한다.
• 포아송 잠재력 공식과 변수 치환(w = Kz)을 적용하여 정적분포의 정규화 상수 c를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 등방향 안정 과정에 대해 가장 가까운 도달 지점의 정확한 분포는 무엇인가?
• RQ2 반경 이완 이론을 활용하여, 기존의 블룸נטל-게투어-레이 정리를 고차원에서 n중도 법칙으로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 반경 최대값에 대해 반사된 안정 과정의 정적분포는 무엇인가?
• RQ4 안정 과정의 맥락에서 기저가 되는 MAP의 위너-홉프 분해를 어떻게 명시적으로 표현할 수 있는가?
• RQ5 등방성이 X_t / M_t의 한계 분포를 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 가장 가까운 도달 지점의 분포는 새로운 반경 이완 이론을 통해 특징지어지며, 첫 번째 구 진입 및 퇴출에 대한 명시적 변동 정리를 도출한다.
• 반경 최대값에 대해 반사된 과정의 정적분포는 단위 구 내에서 |1−|w|²|^{α/2}/|ϕ−w|^{d} 비례하는 밀도로 주어지며, 정규화 상수는 감마 함수를 포함한다.
• q↓0에서 qU^{(q),-}_x의 극한에서 상수 c는 c = 2^α Γ((d+α)/2)/Γ((d−α)/2)로 규명되어, 정적 측도가 1이 되도록 보장한다.
• t→∞에서 E_{Kx}[f(X_t / M_t)]의 극한이 단위 구 위의 적분으로 수렴하며, 이는 |1−|w|²|^{α/2}와 포아송 커널을 포함한다. 이는 정적 법칙을 확인한다.
• 기저가 되는 MAP의 위너-홉프 분해는 초함수 레비 과정 ξ의 특성 지수를 사용하여 명시적으로 표현된다.
• 정적분포가 역행사 지도 w ↦ K w = w/|w|²에 대해 불변임을 보여, 안정 과정의 반경적 구조에서의 등각 불변성을 반영한다.