[논문 리뷰] Deep Learning-Based BSDE Solver for Libor Market Model with Application to Bermudan Swaption Pricing and Hedging

Haojie Wang, Han Chen외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 2인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 고차원의 전방-후방 확률미분방정식(FBSDE)으로 문제를 공식화함으로써 리보어 마켓 모델(LMM) 하에서 버뮤디안 스왑션의 가격 설정과 헤지 전략을 위한 후방 딥뉴럴넷(DNN) 솔버를 제안한다. 이 방법은 GPU에서 뛰어난 속도와 확장성으로 정확한 가격 설정과 직접적인 그릭스(Delta 등) 계산을 가능하게 하여, 고차원 환경에서 전통적인 몬테카를로 방법을 능가한다.

ABSTRACT

The Libor market model is a mainstay term structure model of interest rates for derivatives pricing, especially for Bermudan swaptions, and other exotic Libor callable derivatives. For numerical implementation the pricing of derivatives with Libor market models is mainly carried out with Monte Carlo simulation. The PDE grid approach is not particularly feasible due to Curse of Dimensionality. The standard Monte Carlo method for American/Bermudan swaption pricing more or less uses regression to estimate expected value as a linear combination of basis functions (Longstaff and Schwartz). However, Monte Carlo method only provides the lower bound for American option price. Another complexity is the computation of the sensitivities of the option, the so-called Greeks, which are fundamental for a trader's hedging activity. Recently, an alternative numerical method based on deep learning and backward stochastic differential equations appeared in quite a few researches. For European style options the feedforward deep neural networks (DNN) show not only feasibility but also efficiency to obtain both prices and numerical Greeks. In this paper, a new backward DNN solver is proposed for Bermudan swaptions. Our approach is representing financial pricing problems in the form of high dimensional stochastic optimal control problems, FBSDEs, or equivalent PDEs. We demonstrate that using backward DNN the high-dimension Bermudan swaption pricing and hedging can be solved effectively and efficiently. A comparison between Monte Carlo simulation and the new method for pricing vanilla interest rate options manifests the superior performance of the new method. We then use this method to calculate prices and Greeks of Bermudan swaptions as a prelude for other Libor callable derivatives.

연구 동기 및 목표

• 기존의 PDE 및 몬테카를로 방법이 고차원 환경에서 '차원의 저주'에 직면하는 문제를 해결하기 위해, 리보어 마켓 모델(LMM) 하에서 고차원의 버뮤디안 스왑션을 가격 설정하는 데 도전한다.
• 표준 몬테카를로 방법의 한계를 극복하기 위해, 미국형 옵션에 대해 하한선만 제공하고 그릭스 계산을 위해 복잡한 경로 기반 회귀 분석이 필요한 문제를 해결한다.
• 회귀 분석이나 경로 시뮬레이션에 의존하지 않고도 옵션 가격과 민감도(그릭스)를 직접 계산할 수 있는 확장 가능한 딥러닝 프레임워크를 개발한다.
• 이자율 파생상품의 헤지 전략에서 핵심적인 다수의 기초 리보어 금리에 대한 델타 민감도를 효율적이고 정확하게 계산할 수 있도록 한다.
• 유럽형 옵션을 초월하여, 특히 콜러블 인스트루먼트인 버뮤디안 스왑션과 같은 복잡한 금융 파생상품에 대해 딥러닝 기반의 FBSDE 솔버의 실현 가능성과 성능을 입증한다.

제안 방법

• generalized Feynman-Kac 정리를 활용하여, 버뮤디안 스왑션 가격 설정 문제를 고차원의 전방-후방 확률미분방정식(FBSDE)으로 공식화한다.
• 최초 시간으로의 가치 추정치의 분산을 최소화하는 손실 함수를 기반으로, 옵션 가치를 만기에서부터 초기 시점으로 역행적으로 추정하는 후방 DNN 아키텍처를 구현한다.
• 전방 DNN 솔버와 유사한 병렬 신경망 구조를 활용하지만, 후행 시간 진화와 조기 행사 결정을 고려해 조정한다.
• LMM 하에서의 리보어 금리 시뮬레이션 경로를 기반으로, 확률적 경사 하강법을 사용해 DNN을 훈련시키며, 손실 함수는 종료 시 지급액의 추정치 분산을 최소화하도록 설계된다.
• 기초 리보어 금리에 대한 네트워크 출력의 미분을 직접 계산함으로써 그릭스(Delta 등)를 추정하며, 별도의 경로 기반 또는 우도 비율 추정 방법이 필요로 하지 않는다.
• TensorFlow를 통한 GPU 가속을 활용해 고성능을 달성하였으며, 특히 많은 행사 일자가 존재하고 만기가 긴 스왑션의 경우 뛰어난 효율성을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 PDE 및 몬테카를로 방법이 실패하는 고차원 리보어 마켓 모델 환경에서, 딥러닝 기반의 후방 DNN 솔버가 버뮤디안 스왑션을 정확하게 가격 설정할 수 있는가?
• RQ2 장기 만기 스왑션에 대해, 후방 DNN 솔버의 가격 설정 정확도와 계산 속도가 표준 몬테카를로 시뮬레이션에 비해 어떻게 비교되는가?
• RQ3 DNN 기반 방법이 추가적인 회귀 분석이나 경로 시뮬레이션 없이 그릭스(Delta 등)를 얼마나 정확하게 직접 계산할 수 있으며, 이는 기준값과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 다양한 리보어 금리 만기 수준에 대한 버뮤디안 스왑션의 델타 민감도에서 나타나는 패턴은 무엇이며, 금융적 직관과 일치하는가?
• RQ5 후방 DNN 프레임워크는 콜러블 CMS 스프레드 옵션 또는 레인지 액크루얼과 같은 다른 복잡한 고차원 금리 파생상품으로 효과적으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 후방 DNN 솔버는 QuantLib의 몬테카를로 시뮬레이션과 유사한 정확도를 달성하였으며, swaption swptn_1에 대해 순현재가(NPV)의 최대 차이가 0.00161 이내였다.
• 행사 일자가 증가하는 스왑션(swaptn_1에서 swptn_19까지)에 대해, 단일 V100 GPU에서 계산 시간은 3분에서 20분 사이로 변동하였으며, 강력한 확장성을 입증하였다.
• DNN가 계산한 델타 민감도는 명확한 금융적 직관을 반영하고 있다: 후행 기간의 리보어 금리(L_{29} 등)에 대한 델타는 행사 시점이 증가함에 따라 증가하는 반면, 초기 기간의 리보어 금리(L_{10} 등)는 민감도가 감소한다.
• 이 방법은 나머지 행사 기회 수에 따른 델타의 구조적 의존성을 성공적으로 포착하였다. 예를 들어, swptn_19에 대해 $\Delta(L_{10}) < \Delta(L_{11}) < \cdots < \Delta(L_{28})$의 관계를 정확히 반영함으로써 재정적 일관성을 입증하였다.
• 후방 DNN 솔버는 백프로파게이션을 통해 그릭스를 직접 효율적으로 계산하며, 경로 기반 또는 우도 비율 추정기법과 같은 별도의 수치적 방법이 필요로 하지 않는다.
• 이 프레임워크는 매우 확장 가능하고 일반화 가능하며, 버뮤디안 스타일의 금리 파생상품뿐 아니라 주식 및 FX 등 다양한 자산 클래스로의 응용 가능성이 있다.