[논문 리뷰] Deep learning neural networks for the third-order nonlinear Schrodinger equation: Solitons, breathers, and rogue waves

Zijian Zhou, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 30.

Advanced Fiber Laser Technologies참고 문헌 36인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제3차 비선형 슈뢰딩거 방정식(Hirota 방정식)에 대해 물리 기반 신경망(PINNs)을 적용하여 데이터 기반 솔루션—솔리톤, 브리더, 로그 웨이브—을 발견하고, 노이즈가 있는 및 노이즈가 없는 솔리톤 데이터를 사용하여 방정식 내 알려지지 않은 매개변수를 식별한다. 이 방법은 2% 노이즈 조건에서도 솔루션 복원 및 매개변수 발견 모두 높은 정확도를 달성하며, 비선형 파동 모델링에서 강건성과 일반화 능력을 입증한다.

ABSTRACT

The third-order nonlinear Schrodinger equation (alias the Hirota equation) is investigated via deep leaning neural networks, which describes the strongly dispersive ion-acoustic wave in plasma and the wave propagation of ultrashort light pulses in optical fibers, as well as broader-banded waves on deep water. In this paper, we use the physics-informed neural networks (PINNs) deep learning method to explore the data-driven solutions (e.g., soliton, breather, and rogue waves) of the Hirota equation when the two types of the unperturbated and unperturbated (a 2% noise) training data are considered. Moreover, we use the PINNs deep learning to study the data-driven discovery of parameters appearing in the Hirota equation with the aid of solitons.

연구 동기 및 목표

• 제3차 비선형 슈뢰딩거 방정식의 복잡한 비선형 파동 솔루션—솔리톤, 브리더, 로그 웨이브—을 발견하기 위한 딥러닝 프레임워크를 개발하는 것.
• Hirota 방정식에 대해 훈련 데이터에 노이즈(2%)가 포함된 경우 PINN의 복원 정확도와 강건성을 조사하는 것.
• 솔리톤 솔루션을 훈련 데이터로 사용하여 알려지지 않은 물리적 매개변수(예: 분산 및 비선형 계수)를 데이터 기반으로 발견하는 것.
• 정확도 평가를 위해 L² 노름 오차와 수렴 속도를 기준으로, 훈련 데이터에 변화가 없는 경우와 있는 경우 모두에서 PINN 접근법을 검증하는 것.

제안 방법

• PINN 프레임워크는 히로타 방정식의 복소수 솔루션 $ q(x,t) = u(x,t) + iv(x,t) $ 를 근사하기 위해 깊은 신경망을 사용한다.
• 손실 함수는 초기 조건 및 경계 조건의 데이터 적합성과, 자동 미분를 통해 구현된 미분방정식의 잔여항 최소화를 조합한다.
• PDE 잔여항은 $ F(x,t) = iq_t + \alpha(q_{xx} + 2|q|^2 q) + i\beta(q_{xxx} + 6|q|^2 q_x) $ 로 계산되며, 실수부 및 허수부에서 유도된 $ F_u $ 및 $ F_v $ 를 포함한다.
• 신경망은 Adam(20,000단계)을 사용한 후 L-BFGS(50,000단계)를 사용하여 PDE 잔여항 및 경계 조건의 평균 제곱오차를 최소화하도록 훈련된다.
• 매개변수 식별을 위해 $ \alpha $, $ \beta $, $ \mu $, 및 $ \nu $ 는 훈련 가능한 매개변수로 간주되며, 손실 함수는 알려지지 않은 계수를 포함하도록 수정된다.
• 훈련 데이터는 공간 및 시간 영역에서 샘플링된 정확한 솔리톤 솔루션과 2% 노이즈가 첨부된 변형된 버전을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PINNs는 제한된 또는 노이즈가 있는 데이터로부터 히로타 방정식의 솔리톤, 브리더, 로그 웨이브 솔루션을 정확하게 복원할 수 있는가?
• RQ2 훈련 데이터에 2% 노이즈가 존재할 경우 PINN 기반 솔루션 복원의 정확도와 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 PINNs는 솔리톤 솔루션 데이터만을 사용하여 히로타 방정식 내 알려지지 않은 물리적 매개변수(예: $ \alpha $, $ \beta $)를 효과적으로 식별할 수 있는가?
• RQ4 다양한 노이즈 수준에서 PINNs의 성능은 전체 복소수 필드 $ q(x,t) $ 와 그 실수부 및 허수부의 복원에 대해 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 노이즈가 없는 경우 정확한 솔리톤 솔루션에 대해 PINN 방법은 상대적 $ \mathbb{L}^2 $-노름 오차 $ 7.0371 \times 10^{-4} $ 를 달성하여 높은 솔루션 정확도를 입증했다.
• 훈련 데이터에 2% 노이즈가 포함된 경우 상대적 $ \mathbb{L}^2 $-노름 오차는 $ 9.4420 \times 10^{-4} $ 로 증가했으며, 데이터 편향에 대한 강건성을 보였다.
• 노이즈가 없는 조건에서 $ \alpha $ 및 $ \beta $ 의 매개변수 식별에 대해 각각 $ 3.85 \times 10^{-5} $ 및 $ 7.48 \times 10^{-5} $ 의 오차를 기록했다.
• 2% 노이즈 조건에서도 $ \alpha $ 및 $ \beta $ 의 매개변수 식별 오차는 각각 $ 3.31 \times 10^{-4} $ 및 $ 2.89 \times 10^{-4} $ 로 안정적인 성능을 보였다.
• 다른 매개변수화 방식($ \mu $ 및 $ \nu $)에 대해서는 노이즈가 없을 경우 오차가 $ 3.69 \times 10^{-3} $ 및 $ 3.14 \times 10^{-2} $ 로 나타났고, 2% 노이즈 조건에서는 $ 1.84 \times 10^{-2} $ 및 $ 1.13 \times 10^{-1} $ 로 증가하였다.
• 훈련 시간은 케이스에 따라 약 1970–3570초였으며, 50,000단계 이내의 L-BFGS 단계에서 수렴이 달성되었다.