[논문 리뷰] Deep Neural Network Framework Based on Backward Stochastic Differential Equations for Pricing and Hedging American Options in High Dimensions

Yangang Chen, Justin W. L. Wan|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 29인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 고차원에서 미국식 옵션의 가격 책정과 헤지에 사용할 수 있는 백분산 미분 방정식(BSDE) 기반의 딥 뉴럴 네트워크 프레임워크를 제안한다. 시간 단계 간의 가격 차이를 학습하는 일련의 신경망을 훈련시키고, BSDE 잔차를 손실 함수로 최소화함으로써, 차원에 대해 제곱형 비용 스케일링을 보이며, 20차원 이상에서 기존 최고 수준의 방법들인 Longstaff-Schwartz를 능가하는 정확한 시공간 가격과 델타를 계산한다.

ABSTRACT

We propose a deep neural network framework for computing prices and deltas of American options in high dimensions. The architecture of the framework is a sequence of neural networks, where each network learns the difference of the price functions between adjacent timesteps. We introduce the least squares residual of the associated backward stochastic differential equation as the loss function. Our proposed framework yields prices and deltas on the entire spacetime, not only at a given point. The computational cost of the proposed approach is quadratic in dimension, which addresses the curse of dimensionality issue that state-of-the-art approaches suffer. Our numerical simulations demonstrate these contributions, and show that the proposed neural network framework outperforms state-of-the-art approaches in high dimensions.

연구 동기 및 목표

• 3개 이상의 기초 자산을 가진 경우에 발생하는 차원의 고통 문제를 해결하기 위해.
• 단일 시점에서의 옵션 가격뿐만 아니라, 전체 시공간 도메인에서의 가격과 델타를 계산하여 완전한 델타 헤지가 가능하도록 하기 위해.
• Longstaff-Schwartz와 같은 회귀 기반 방법의 한계를 극복하기 위해, 고차원에서의 높은 복잡성과 낮은 확장성 문제를 해결하기 위해.
• 옵션의 수익금 부드럽게 처리하고 특징 공학을 적용하는 도메인 전문 지식을 반영한 신경망 아키텍처를 개발하기 위해.
• 차원에 대해 제곱형 계산 비용 스케일링을 달성하여, 기존 방법이 실패하는 200차원까지의 문제 해결이 가능하도록 하기 위해.

제안 방법

• 프레임워크는 N개의 순차적 피드포워드 신경망을 사용하며, 각 네트워크는 연속된 시간 단계에서의 가치 함수 간의 차이를 학습하도록 훈련된다.
• 손실 함수는 관련된 백분산 미분 방정식(BSDE)의 최소 제곱 잔차이며, 이는 옵션 가격과 델타를 하나의 방정식 안에서 연결한다.
• 특징으로 현재 자산 가격, 만기 시 수익금, 이전 단계에서의 계속 가치를 포함하여 모델 정확도를 향상시킨다.
• 네트워크 아키텍처는 순환적으로 정의되지만, 순환 신경망(RNN)과는 다름을 보장하여 효율적인 훈련과 일반화를 확보한다.
• 가중치 재사용, 앙상블 학습, 재정의된 훈련 입력(예: v)과 같은 기법을 적용하여 안정성과 성능을 향상시킨다.
• 이 방법은 t=0에서만 아니라 전체 시공간 도메인에 걸쳐 가격과 델타를 출력하므로, 완전한 동적 헤지가 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BSDE 잔차 최소화 기반의 딥 뉴럴 네트워크 프레임워크는 고차원에서 정확한 미국식 옵션 가격 책정과 델타 계산을 달성할 수 있는가?
• RQ2 기초 자산 수가 20개를 초과할 경우, 제안된 아키텍처는 Longstaff-Schwartz 방법에 비해 정확도와 계산 효율성 측면에서 뛰어나게 성능을 발휘하는가?
• RQ3 이 프레임워크는 고립된 점이 아닌 전체 시공간 도메인에서 가격과 델타를 계산하여 완전한 델타 헤지를 지원할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법의 계산 비용 스케일링은 차원 d에 대해 어떻게 되며, 차원의 고통 문제를 완화하는가?
• RQ5 연습 경계의 정확도와 상대적 손익(P&L) 분포는 유한 차분법 및 Longstaff-Schwartz 방법과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 높은 정확도로 시공간 가격과 델타를 계산하며, 2D 및 5D 사례에서 유한 차분 방법과 거의 일치하는 상대적 P&L 분포를 달성한다.
• 200차원 최대 콜 옵션에서 평균 상대적 P&L은 0.0016, 표준편차는 0.0614를 기록하여, 정확도와 확장성 측면에서 Longstaff-Schwartz를 능가한다.
• 연습 경계에 대한 f1-스코어는 약 0.94로, Longstaff-Schwartz의 약 ~0.76보다 뚜렷이 높아, 더 뛰어난 경계 탐지 능력을 보인다.
• 이 방법의 계산 비용은 차원 d에 대해 제곱형 스케일링을 보이며, 200차원까지의 문제 해결이 가능하지만, Longstaff-Schwartz는 메모리 및 비용 제약로 인해 실패한다.
• 5차원 최대 콜 옵션에서 계산된 가격(예: 행사가격 90일 때 16.8896)은 Longstaff-Schwartz의 16.76보다 略로 높으며, 이는 Longstaff-Schwartz가 저편향 방법임을 고려할 때 일관된 결과이다.
• 이 프레임워크는 모든 차원에서 정확한 델타를 생성하며, 행사가격 110일 때 (0.2157, 0.2198, 0.2190, 0.2149, 0.2202)와 같은 값들을 보여주어 신뢰할 수 있는 헤지 신호를 제공한다.