[논문 리뷰] Deep-water gravity waves: nonlinear theory of wave groups

I. M. Mindlin|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 06.

Ocean Waves and Remote Sensing참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자유 표면를 반원으로 변환함으로써 깊은 수면 중 중력파 군집에 대한 비선형 이론을 제시한다. 이는 이산 삼각급수 해법을 가능하게 하며, 정수로 인덱싱된 완전한 파acket 집합을 유도한다. 각 파acket은 서로 다른 분산 및 전파 속도를 가지며 독립적으로 진화하며, 소폭 진폭 근사에서 선형 이론과 일치하고, 游진 행동에서 비선형 슈뢰딩거 방정식 해와 일치한다. 또한 유한한 에너지를 유지하고 솔리톤 가정을 피한다.

ABSTRACT

Nonlinear initial-boundary value problem on deep-water gravity waves of finite amplitude is solved approximately (up to small terms of higher order) assuming that the waves are generated by an initial disturbance to the water and the horizontal dimensions of the initially disturbed body of the water are much larger than the magnitude of the free surface displacement. A numerable set of specific free surface waves is obtained in closed form and it is shown that free surface waves produced by an arbitrary initial disturbance to the water is a combination (not superposition: the waves are nonlinear) of the specific waves. A set of dispersive wave packets is found with one-to-one correspondence between the packets and positive integers, say, packet numbers, such that any initial free surface displacement gradually disintegrates into a number (limited or unlimited, depending on initial conditions) of the wave packets. The greater the packet number, the shorter the wavelength of the packet's carrier wave component, the slower the packet travels, the slower the packet disperses; evolution of any of the packets is not influenced by evolution of any other one. It is found that in case of infinitesimal wave amplitude the present theory is in agreement with linear wave theory. On the other hand, the behaviour of wave packets of large numbers and asymptotic behaviour of solutions of Schrödinger equation for weakly nonlinear waves are found to be similar, except for dispersion The theory is tested against experiments performed in a water tank.

연구 동기 및 목표

• 유한한 초기 외란에 의해 생성된 깊은 수면 중 중력파에 대한 비선형 초기경계값 이론을 개발하기 위해.
• -envelope 솔리톤 가정을 피하고 유한한 에너지를 유지함으로써 비선형 슈뢰딩거 방정식 접근의 한계를 극복하기 위해.
• 임의의 초기 표면 이완을 기술하는 완전하고 수능 가능한 파cket 집합을 구성하기 위해.
• 유한한 에너지와 무한대에서의 퇄소 조건을 요구함으로써 물리적으로 일관된 해를 보장하기 위해.
• 실험 데이터와의 비교를 통해 선형 이론 및 약한 비선형 파동 행동과의 일치를 입증하기 위해.

제안 방법

• 자유 표면의 자취를 비선형 좌표 변환을 통해 반원으로 변환함으로써 연속적인 푸리에 변환 대신 이산 삼각해석을 가능하게 하기 위해.
• 초기 외란의 수평 스케일이 수직 이완보다 훨씬 크다고 가정하여 소수의 전개를 가능하게 하기 위해.
• 초기 조건과 해 성분을 매핑된 영역에서 수렴하는 삼각급수로 전개하기 위해.
• 소수 비율(수평 척도 대 수직 척도 비율)에 따라 순서별로 변환된 방정식을 풀며, 고차항의 작은 항들만 유지하기 위해.
• 라거르 폴리노미얼과 적분 변환을 사용하여 계수의 시간 진화에 대한 정확한 해를 도출하기 위해.
• 유한한 에너지와 무한대에서의 퇸소 조건을 적용하여, 이는 해를 이산적인 파cket 집합으로 제한한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파동 군집의 파동 봉우리나 솔리톤을 가정하지 않고, 임의의 초기 외란으로부터 깊은 수면 중 중력파를 기본 파동 성분으로 분해하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 에너지가 유한하고 해가 무한대에서 퇸소할 때, 분산과 비선형성이 파동 군집의 장기적 진화에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ3 제안된 이산 파cket 모델은 선형 파동 이론과 약한 비선형 슈뢰딩거 방정식 해와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 초기 파cket이 여러 개의 독립적인 파cket으로 분해되는 것을 일대일 정수 대응 관계로 해석적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 최초 근사해가 유한한 오차 범위 내에서 전체 비선형 문제를 근사하는 데 성립하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 각각 양의 정수로 인덱싱된 완전하고 수능 가능한 파cket 집합이 도출되었으며, 파cket 번호와 파장, 군속도와 같은 물리적 성질 사이에 일대일 대응 관계가 존재한다.
• 파cket은 상호 독립적으로 진화하며, 한 파cket의 진화는 다른 파cket에 영향을 주지 않으며, 시간이 지남에 따라 각 파cket은 형태와 속도를 유지한다.
• 높은 번호의 파cket에 대해, 파cket의 游진 행동은 비선형 슈뢰딩거 방정식 해와 유사하지만, 분산 차이를 제외하고는 거의 동일하다.
• 무한소 진폭 근사에서 이론은 선형 파동 이론으로 축소되며, 기존 결과와의 일관성을 확인한다.
• 모델은 실험 관측과 일치하는 파동 군집 행동을 예측한다. 예를 들어, 2.5 Hz 파cket의 경우 약 ~27.5초의 전파 시간, 약 ~3.1m의 길이를 예측한다.
• 강제항의 구조가 삼각급수로 표현되며 계수의 합산 가능성이 보장되어 있어, 고차항 근사가 소수 비율에 대해 유한하게 유지되며, 소수 비율이 작은 범위에서 해가 합리적인 근사로 유지됨을 보장한다.