[논문 리뷰] Definability and decidability in expansions by generalized Cantor sets

William Balderrama, Philipp Hieronymi|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 29.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 칸토어 집합을 통해 순서가 붙은 실수 덧셈군의 확장에서 정의 가능성과 결정 가능성에 대해 연구한다. 일반화된 칸토어 집합 하나로의 확장은 결정 가능하며, 기본 $ r $의 자릿리 정보를 캡처하는 구조와 상호정의 가능하다. 그러나 서로 곱셈적으로 독립적인 기수에서 두 개의 일반화된 칸토어 집합을 추가하면 결정 가능성이 상실되며, 모든 컴팩트 집합을 정의하게 된다. 핵심 결과는 $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $일 때, $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) $가 모든 컴팩트 집합을 정의한다는 것이다. 이는 결정 불능성과 완전한 프로젝티브 정의 가능성의 결과를 낳는다.

ABSTRACT

We determine the sets definable in expansions of the ordered real additive group by generalized Cantor sets. Given a natural number $r\geq 3$, we say a set $C$ is a generalized Cantor set in base $r$ if there is a non-empty $K\subseteq\{1,\ldots,r-2\}$ such that $C$ is the set of those numbers in $[0,1]$ that admit a base $r$ expansion omitting the digits in $K$. While it is known that the theory of an expansion of the ordered real additive group by a single generalized Cantor set is decidable, we establish that the theory of an expansion by two generalized Cantor sets in multiplicatively independent bases is undecidable.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 칸토어 집합 하나로의 확장에서 어떤 집합이 정의 가능한지 결정하는 것.
• 다수의 일반화된 칸토어 집합으로의 확장이 모델 이론적으로 온건한지 조사하는 것.
• 특히 다수의 칸토어 집합을 추가할 경우 결정 가능성과 불결정 가능성의 경계를 명확히 하는 것.
• 이러한 확장이 $ \mathbb{R} $의 모든 컴팩트 부분집합을 정의할 수 있는 조건을 설정하는 것.

제안 방법

• 기수 $ r $의 정수 거듭제곱에서의 자릿리 정보를 코딩하는 삼항관계 $ W_r $를 사용하여 일반화된 칸토어 집합 $ C_{r,K} $를 정의하는 것.
• $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $와 $ \mathcal{S}_r = (\mathbb{R}, <, +, W_r|_{[0,1] \times r^{-\mathbb{N}} \times \{0,\dots,r-1\}}) $ 사이의 상호정의 가능성 수립.
• 부치와 보이게르 등이 개발한 자동차 이론적 및 모델 이론적 도구를 적용하여 단일 칸토어 집합 확장의 결정 가능성을 보이는 것.
• $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $일 때, 비르메이어의 정리의 일반화를 통해 $ (\mathbb{R}, <, +, W_r, W_s) $가 모든 컴팩트 집합을 정의함을 증명하는 것.
• $ r^{-\mathbb{N}} $ 위에서 정의 가능한 함수, 예를 들어 $ f(r^{-d}) = r^{-\lceil \log_s(r) d \rceil} $를 사용하여 조밀한 집합을 시뮬레이션하고 컴팩트 집합의 정의 가능성을 가능하게 하는 것.
• 소인수 분해와 $ r $-adic 값 함수 기법을 활용하여 일반적인 경우를 정의 가능성이 알려진 결과로 근거가 되는 부분문제로 환원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $에서 단일 일반화된 칸토어 집합에 대해 어떤 집합이 정의 가능한가?
• RQ2 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $의 이론은 결정 가능한가?
• RQ3 $ (\mathbb{R}, <, +) $에 서로 곱셈적으로 독립적인 기수에서 두 개의 일반화된 칸토어 집합을 추가하면 어떤 일이 일어나는가?
• RQ4 이러한 확장은 $ \mathbb{R} $의 모든 컴팩트 부분집합을 정의할 수 있는가?
• RQ5 다수의 칸토어 집합을 추가할 경우 어떤 조건에서 결정 불능성이 발생하는가?

주요 결과

• $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $는 $ \mathcal{S}_r $와 상호정의 가능하므로, 정의 가능한 집합은 정확히 $ \mathcal{S}_r $에서 정의 가능한 집합과 일치한다.
• $ r \geq 3 $ 및 공집합이 아닌 $ K \subseteq \{1,\dots,r-2\} $에 대해 $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}) $의 이론은 결정 가능하다.
• $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $일 때, $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) $는 $ \mathbb{R} $의 모든 컴팩트 부분집합을 정의한다.
• 그 결과로 $ \log_r(s) \notin \mathbb{Q} $일 때, $ (\mathbb{R}, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) $의 이론은 결정 불능이다.
• 이 확장은 $ [0,1]^k $의 모든 프로젝티브 부분집합을 정의하며, 이는 $ (\mathbb{R}, +, \cdot, \mathbb{N}) $를 해석하기 때문이다.
• 곱셈이 반드시 정의 가능하지는 않지만, 컴팩트 집합의 정의 가능성 덕분에 여전히 완전한 프로젝티브 복잡도를 포착한다.