[논문 리뷰] Definable discrete sets with large continuum

David Schrittesser|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 11.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고델의 구성 가능한 유니버스 L의 반복 사크스 강제 확장에서, 연속체가 크더라도(예: 2^ℵ₀ = ℵ₂), 모든 Σ¹₁ 이진관계가 Δ¹₂ 최대 이산집합을 가짐을 입증한다. 이 결과는 반복 사크스 강제 확장에서 연속체가 클 경우에도 정의 가능한 최대 이산집합의 존재를 보여주는 새로운 람버그 이론적 원리를 사용하여, Borel 확률측도의 Π¹₁ 최대 수직족을 구성하는 데 응용된다.

ABSTRACT

Let $\mathcal R$ be a $Σ^1_1$ binary relation and call a set $\mathcal R$-discrete iff no two distinct of its elements are $\mathcal R$-related. We show that in the extension of $\mathbf{L}$ by iterated Sacks forcing, there is a $Δ^1_2$ maximal $\mathcal R$-discrete set, and thus the existence of such sets is compatible with the negation of the continuum hypothesis. As an application we find a $Π^1_1$ maximal orthogonal family of Borel probability measures in said extension. The basis of this is a new Ramsey theoretic result.

연구 동기 및 목표

• 강제 확장에서 연속체가 클 경우 Σ¹₁ 이진관계에 대한 정의 가능한 최대 이산집합의 존재를 조사한다.
• 사크스 강제에서 동일한 집합에 대한 갈빈의 정리를 반복 사크스 강제로 확장한다.
• 구성 가능한 유니버스 L의 반복 사크스 확장에서 Borel 확률측도의 Π¹₁ 최대 수직족을 구성한다.
• 이러한 정의 가능한 최대 이산집합의 존재가 연속체 가설의 부정과 일관됨을 보여준다.
• 정의 가능성의 한계를 분석하기 위해 프로젝티브 정의 가능성과 람버그 이론적 원리에서의 보편성의 역할을 탐구한다.

제안 방법

• L 위에서 길이 ω₂인 반복 사크스 강제를 사용하여, 효과적으로 제시된 폴란드 공간 위의 임의의 Σ¹₁ 관계 R에 대해 Δ¹₂ 최대 R-이산집합을 구성한다.
• 핵심 기술적 도구는 새로운 람버그 이론적 결과이다: 반복 사크스 조건의 가지 공간에서 C-보편적으로 바이어의 색칠에 대해, 분할된 정의도메인에서 균일한 색칠을 지지하는 더 강력한 조건이 존재한다.
• 증명은 반복에서 위상적으로 결정된 조건을 활용하며, 한계 λ에 대해 분기 공간 [p̄] ⊆ λ(ω2)를 정의하고, 두 분기의 차이가 생기는 첫 번째 좌표를 기반으로 색칠을 분석한다.
• 강제 증명을 통해 일반 조건 q̄가 융합 과정을 통해 Δ¹₂ 정의 가능성과 함께 최대 이산집합의 존재를 강제함을 보여준다.
• 각 단계에서 갈빈 증거를 사용하여 트리의 초기 부분에서 균일성을 확보함으로써, 최종 집합이 R-이산적이며 최대임을 보장한다.
• 측도의 수직족에 대한 응용은 P*(X), 즉 완전한 폴란드 공간 X 위의 원소가 없는 Borel 확률측도의 공간이 효과적인 폴란드 공간이며 Borel 수직관계를 가짐을 바탕으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사크스 강제에서 바이어 측도 색칠에 대한 갈빈의 정리는 반복 사크스 강제로 확장될 수 있는가?
• RQ2 연속체가 클 경우 강제 확장에서의 Σ¹₁ 관계도 여전히 프로젝티브 최대 이산집합을 가질 수 있는가?
• RQ3 L의 반복 사크스 확장에서 Borel 확률측도의 Π¹₁ 최대 수직족이 존재하는가?
• RQ4 모든 프로젝티브 이진관계가 폴란드 공간에서 프로젝티브 횡단선을 가진다는 문장의 일관성 강도는 무엇인가?
• RQ5 강제 확장 간에 최대 수직족의 측도는 보존되는가, 아니면 항상 외부 모델에서 파괴되는가?

주요 결과

• 길이 ω₂인 L의 반복 사크스 확장에서, 연속체가 ℵ₁보다 클 경우에도 모든 Σ¹₁ 이진관계는 Δ¹₂ 최대 R-이산집합을 가진다.
• 이러한 정의 가능한 최대 이산집합의 존재는 연속체 가설의 부정과 일관된다.
• 동일한 강제 확장에서 Π¹₁ 최대 수직족의 Borel 확률측도가 존재하며, 이는 주요 정리와 이전 연구 결과의 결과이다.
• 논문은 반복 사크스 강제에 대한 새로운 람버그 이론적 원리를 확립한다: 어떤 조건의 가지 공간에서 C-보편적으로 바이어의 색칠이 주어지면, 분할된 정의도메인에서 균일한 색칠을 지지하는 더 강력한 조건이 존재한다.
• 구성 과정은 최종적으로 얻어진 최대 이산집합이 강제 확장에서 매개변수 없이 Δ¹₂-정의 가능하다는 것을 보여준다.
• 결과는 최적이다. 즉, 첫 번째로 다를 좌표(cξ)에 기반한 색칠의 장애는 극복할 수 없으며, 따라서 Δξ로의 분할이 필수적이다.