[논문 리뷰] Definable equivalence relations and zeta functions of groups

Ehud Hrushovski, Benjamin Martin외 2명|arXiv (Cornell University)|2006. 12. 31.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 p진수 Qp에서 GLn(Qp)/GLn(Zp)에 대한 종류를 추가함으로써, 모든 소수 p에 대해 균일하게 상상의 원소를 제거함을 확립한다. 이는 Qp 및 양의 특성의 국소체에서 정의 가능한 동치류를 세는 zeta 함수의 균일한 유리성도 보장한다. p진 및 모티빅 적분 기법을 사용하여, 유한 생성 노름군의 표현 zeta 함수가 균일하게 유리함을 증명하며, 이는 이전의 부분군 zeta 함수 결과를 확장하고, 전역 zeta 함수의 수렴의 균일한 절편을 제공한다.

ABSTRACT

We prove that the theory of the $p$-adics ${\mathbb Q}_p$ admits elimination of imaginaries provided we add a sort for ${ m GL}_n({\mathbb Q}_p)/{ m GL}_n({\mathbb Z}_p)$ for each $n$. We also prove that the elimination of imaginaries is uniform in $p$. Using $p$-adic and motivic integration, we deduce the uniform rationality of certain formal zeta functions arising from definable equivalence relations. This also yields analogous results for definable equivalence relations over local fields of positive characteristic. The appendix contains an alternative proof, using cell decomposition, of the rationality (for fixed $p$) of these formal zeta functions that extends to the subanalytic context. As an application, we prove rationality and uniformity results for zeta functions obtained by counting twist isomorphism classes of irreducible representations of finitely generated nilpotent groups; these are analogous to similar results of Grunewald, Segal and Smith and of du Sautoy and Grunewald for subgroup zeta functions of finitely generated nilpotent groups.

연구 동기 및 목표

• GLn(Qp)/GLn(Zp)에 대한 기하 종류를 추가함으로써 Qp 이론에서 상상의 원소 제거를 확립하는 것.
• 초수체와 불변 유형을 사용하여, 이 상상의 원소 제거가 모든 소수 p에 대해 균일한지 증명하는 것.
• 이 결과를 적용하여, Qp 및 양의 특성의 국소체에서 정의 가능한 동치류를 세는 형식적 zeta 함수의 균일한 유리성을 증명하는 것.
• 기존의 부분군 zeta 함수 결과와 유사하게, 유한 생성 노름군의 표현 zeta 함수로 유리성과 균일성을 확장하는 것.

제안 방법

• 알gebraically closed valued fields (ACVF)의 모델 이론에서 유형의 불변 확장 기법을 사용하여 상상의 원소 제거를 증명하는 데 사용.
• 정의 가능한 동치관계와 그 수세기 함수를 제어하기 위해 p진 및 모티빅 적분 기법을 응용.
• 셀 분해와 매개변수화된 적분을 사용하여 p진 체 위에서 zeta 함수의 유리성을 증명.
• 동치류의 측도론적 구조를 암호화하는 정의 가능한 함수의 가중치 fI,y 및 αy의 가중치를 구성.
• 문헌 [23]과 [14]에서 유도된 균일한 적분성과 유리성 결과를 활용하여, zeta 함수가 계수가 p에 독립적인 유리 함수임을 보이는 것.
• 초수체 형식을 활용하여 이중 균일성 확보: p에 대해와 Qp의 유한 확장 Lp에 대해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Qp 이론에서 모든 소수 p에 대해 균일하게 상상의 원소 제거가 달성될 수 있는가?
• RQ2 정의 가능한 동치류를 세는 zeta 함수가 모든 소수 p에 대해 균일하게 유리한가?
• RQ3 zeta 함수의 균일한 유리성은 양의 특성의 국소체로까지 확장되는가?
• RQ4 균일한 유리성 결과를 유한 생성 노름군의 표현 zeta 함수에 적용할 수 있는가?
• RQ5 모든 p에 대해 곱을 취해 형성된 전역 zeta 함수의 수렴 절편은 무엇인가?

주요 결과

• GLn(Qp)/GLn(Zp)에 대한 종류를 추가하면 Qp 이론은 상상의 원소 제거를 갖게 되며, 이 결과는 p에 대해 균일하다.
• 균일하게 정의 가능한 가중치 가중치에서 유도된 zeta 함수 (Sp(t))p는 계수가 p에 독립적인 유리 함수로서 균일하게 유리하다.
• 각 소수 p에 대해 zeta 함수 Sp(t)는 유리하며, 이는 큰 소수 뿐 아니라 모든 소수에 대해 균일하게 성립한다.
• 지역 zeta 함수의 곱으로 형성된 전역 zeta 함수 ζ(s) = ∏p ζp(s)는 수렴의 유리 절편을 갖는다.
• 유한 생성 노름군의 표현 zeta 함수는 균일하게 유리하며, 이는 이전에 부분군 zeta 함수에 대해서만 알려진 결과를 확장한다.
• 하나의 다른 증명은 하위해석적 설정에서의 셀 분해를 사용하여 유리성을 확인하고 더 일반적인 맥락으로 결과를 확장한다.