[논문 리뷰] Deflation and Flexible SAP-Preconditioning of GMRES in Lattice QCD Simulation

Andreas Frommer, Andrea Nobile외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 24.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 라티스 QCD 시뮬레이션에서 임계 허브링 파라미터 근처에서 발생하는 불안정한 조건을 가진 선형 시스템을 해결하기 위해, 탄성 재시작 가능한 유연한 GMRES(FGMRES-DR)와 함께 탄성 SAP 조건부 조건자(preconditioner)를 제안한다. 재시작 사이에 리츠 벡터를 유지함으로써 탄성은 표준 재시작 GMRES가 실패하는 경우에도 수렴 가능하게 하며, 최소한의 탄성 부분공간 차원(k ≤ 6)으로 대규모 구성에서 안정적인 성능을 달성한다.

ABSTRACT

The simulation of lattice QCD on massively parallel computers stimulated the development of scalable algorithms for the solution of sparse linear systems. We tackle the problem of the Wilson-Dirac operator inversion by combining a Schwarz alternating procedure (SAP) in multiplicative form with a flexible variant of the GMRES-DR algorithm. We show that restarted GMRES is not able to converge when the system is poorly conditioned. By adding deflation in the form of the FGMRES-DR algorithm, an important fraction of the information produced by the iterates is kept between successive restarts leading to convergence in cases in which FGMRES stagnates.

연구 동기 및 목표

• 라티스 QCD 시뮬레이션에서 불안정한 조건을 가진 윌슨-디랙 연산자 시스템에 대해 재시작된 GMRES의 열악한 수렴성을 해결한다.
• 임계 허브링 파라미터 κc 근처의 시스템을 해결할 때 재시작된 GMRES에서 정체 현상(stagnation)을 극복한다.
• 현대 슈퍼컴퓨터의 깊은 메모리 계층과 높은 코어 수를 고려한 확장 가능하고 하드웨어에 민감한 솔버를 개발한다.
• 표준 방법이 실패하는 하이브리드 몬테카를로 시뮬레이션에서 특수한 구성(configurations)에 대해서도 수렴 가능하게 한다.
• 탄성과 유연한 SAP 조건부 조건자를 결합하여 반복 횟수와 메모리 사용량을 줄임으로써 솔버 성능을 최적화한다.

제안 방법

• 윌슨-디랙 연산자에 대해 다중 스키치 알터너팅 절차(SAP)를 탄성 조건부 조건자로 적용한다.
• 재시작된 FGMRES-DR을 사용해 선형 시스템을 해결하며, 탄성에 의해 이전 라운드에서 유도된 리츠 벡터를 유지한다.
• 재시작 사이에 정보를 저장하고 재사용하기 위해 치수 k(≤6)의 탄성 부분공간을 구현함으로써 수렴 안정성을 향상시킨다.
• QPACE 아키텍처에 최적화된 하드웨어 효율 기반으로 SAP 파라미터(서브도메인 크기, SAP 반복 횟수)를 조정한다.
• Krylov 부분공간 반복 과정 중에 변동 가능한 조건부 조건자를 允許하기 위해 GMRES-DR의 유연한 변형을 통합한다.
• 계산 비용과 메모리 프로파일을 최소화하면서도 수렴성을 유지하기 위해 사이클 길이 m과 탄성 치수 k를 균형 잡는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탄성 재시작 FGMRES는 불안정한 라티스 QCD 시스템을 해결할 때 표준 재시작 GMRES가 정체되는 문제를 극복할 수 있는가?
• RQ2 임계 허브링 파라미터 κc 근처에서 윌슨-디랙 연산자 역행렬을 구할 때 탄성이 수렴 속도와 수렴 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 수렴성과 메모리 사용량 측면에서 탄성 부분공간 치수 k와 사이클 길이 m 사이의 최적의 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 유연한 SAP 조건부 조건자와 탄성을 결합하면 현대 고성능 컴퓨팅 아키텍처에서 확장 가능한 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ5 탄성이 표준 솔버가 실패하는 특별히 어려운 구성에서도 수렴 가능하게 하는가?

주요 결과

• 표준 재시작 GMRES가 정체되는 시스템에 대해 탄성이 수렴 가능하게 하며, 특히 임계 허브링 파라미터 κc 근처나 그 이상에서 효과적이다.
• κ = 0.13670(임계 근처)일 경우, 탄성이 없을 때 2869회의 반복이 필요했으나, m=48, k=4일 경우 409회로 감소하여 벽 시계 시간을 623.6초에서 92.3초로 단축시켰다.
• k=6, m=24일 경우, κ=0.13668에서 325회의 반복(73.7초)으로 수렴했으며, 탄성이 없을 경우 3464회의 반복(741.9초)이 소요되었다.
• 모든 테스트된 구성에서 탄성 부분공간 치수 k=6가 충분했으며, 이는 상당한 성능 향상에 비해 최소한의 오버헤드를 유발함을 시사한다.
• 더 작은 사이클 길이(m=16–24)로도 탄성이 효과를 발휘하여 아르니르드 과정의 비용과 메모리 사용량이 더 큰 m보다 감소했다.
• 벽 시계 시간이 반복 횟수와 밀접하게 일치함을 확인하여, 성능 저하의 주요 원인이 Krylov 과정이 아니라 SAP 조건부 조건자임을 입증했다.