[논문 리뷰] Deflation Methods in Fermion Inverters

Walter Wilcox|ArXiv.org|2007. 10. 09.

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라티스 QCD에서 페르미온 역행렬을 가속화하기 위해 고급 정규화 방법—Morgan/Wilcox의 GMRES-DR 및 BiCGStab-DR, Stathopoulos/Orginos의 CG 기반 정규화, Lüscher의 도메인 분할 GCR 방법—을 제시하고 비교한다. 디랙 연산자의 작은 고유모드를 투영함으로써 이들 방법은 킬로프 부분공간 반복 횟수를 감소시키며, 다수의 쿼크 질량에 대해 최대 6.6배의 속도 향상을 이룩하고, 특히 작은 쿼크 질량에서 표준 해법이 치명적인 느린 진행을 겪는 경우 라티스 부피에 따른 스케일링이 향상된다.

ABSTRACT

I will review recent developments in matrix deflation methods, by Ronald Morgan/Walter Wilcox, Andreas Stathopoulos/Konstantinos Orginos, and Martin Lüscher, with application to lattice QCD fermion inversion. I will begin with a short review of deflation-related work in the field. The Morgan/Wilcox algorithms using GMRES and BiCGStab for deflation will be described. Typical results for quenched (Wilson and twisted mass) and dynamical configurations (CP-PACS and ETMC) will be displayed and discussed. I will outline how inclusion of multiple right-hand sides and multiple shifts can be accommodated within versions of these methods. I will also review deflation methods based on Conjugate Gradient introduced by Stathopoulos and Orginos for hermitian systems with multiple right-hand sides as well as Lüscher's non-hermitian domain decomposition algorithm using Generalized Conjugate Residual.}

연구 동기 및 목표

• 작은 고유값으로 인한 악조건화로 인해 작은 쿼크 질량에서 라티스 QCD 페르미온 역행렬에서 치명적인 느린 진행이 발생하는 문제를 해결하기 위해.
• 낮은 고유모드를 투영하는 정규화 기법을 개발하고 비교하여 킬로프 부분공간 해법기의 수렴 속도를 향상시키기 위해.
• 다수의 우변과 다수의 쿼크 질량을 효율적으로 해결하기 위해 정규화된 고유벡터를 재사용함으로써 가능하게 하기 위해.
• 다양한 라티스 크기와 페르미온 표현 방식에서 정규화 방법의 확장성과 성능을 평가하기 위해.
• 정규화가 쿼크 질량을 포함한 반복 횟수와 계산 비용에 미치는 영향을 평가하기 위해.

제안 방법

• GMRES-DR 및 BiCGStab-DR를 사용하여 히아르모닉 Ritz 벡터로 구성된 킬로프 부분공간을 확장함으로써 근사 고유벡터와 선형 시스템을 동시에 계산한다.
• 다수의 우변을 가진 CG 기반 정규화를 적용하여 사이클의 시작과 재시작 시 고유벡터를 투영함으로써 수렴성을 향상시킨다.
• Lüscher의 비에르미트형 도메인 분할에 일반화된 켄지드 레지드(GCR)와 대수적 다중해상도 조건부(예: SAP)를 사용하여 확장성 향상을 도모한다.
• 정규화된 고유모드를 킬로프 부분공간에서 투영함으로써 반복 해법기의 수렴에 미치는 영향을 효과적으로 제거한다.
• 다양한 선형 시스템 간에 정규화된 고유벡터를 재사용함으로써 다수의 이동과 다수의 우변을 처리할 수 있도록 한다.
• 정규화 부분공간에서 히아르모닉 Ritz 벡터를 근사 고유벡터로 사용하여, 이들이 행렬과 부분공간의 Ritz 쌍임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 고유모드의 정규화는 라티스 QCD 페르미온 행렬에 대한 킬로프 부분공간 해법기의 수렴에 어떻게 기여하는가?
• RQ2 GMRES-DR 및 CG 기반 정규화와 같은 정규화 방법은 다수의 쿼크 질량에 대해 표준 해법기인 BiCGStab에 비해 어떤 성능 향상을 보이는가?
• RQ3 정규화 방법은 증가하는 라티스 부피에 대해 어떻게 스케일링되는가, 특히 다이내믹 페르미온 시뮬레이션에서 어떻게 되는가?
• RQ4 정규화는 라티스 QCD의 윌슨 및 비틀림 질량 디랙 연산자와 같은 비에르미트 시스템에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 다수의 우변을 해결할 경우, 정규화의 계산 비용은 얻어진 속도 향상에 비해 얼마나 되는가?

주요 결과

• 32³×48 크기의 큰 라티스에서, 정규화 오버헤드를 포함한 12개의 쿼크 질량 해법에 대해 통합 속도 향상 요소는 6.6배였다. 표준 BiCGStab에 비해.
• Morgan/Wilcox의 GMRES-DR 방법은 부피가 3.2배 증가했을 때 외부 GCR 반복 횟수에 13% 증가를 보였고, 표준 BiCGStab에 비해 30% 증가보다 훨씬 낮았다.
• Lüscher의 도메인 분할 방법은 동일한 부피 변화에서 외부 반복 횟수에 13% 증가만 보였으며, 이는 훨씬 뛰어난 스케일링 성능을 나타낸다.
• 5개 질량 해법에 대한 정규화 오버헤드는 184초였지만, 이 비용을 포함한 속도 향상은 여전히 3.1배로 유의미했다.
• 동일한 부피 변화에 대해 Morgan/Wilcox와 Lüscher의 반복 횟수 증가 비율은 각각 약 0.45와 0.43였으며, 이는 유사한 알고리즘적 가속 성능을 보여주었다.
• 정규화 방법은 특히 작은 쿼크 질량에서 표준 해법기가 치명적인 느린 진행을 겪는 경우, 킬로프 반복 횟수를 크게 감소시킨다.